View source for Correlazione (statistica)

[[File:Correlation examples.png|thumb|upright=1.8|Diversi insiemi di punti di due variabili (X;Y) con relativo [[Indice di correlazione di Pearson|coefficiente di correlazione Pearson]]. Il coefficiente di correlazione rispecchia la rumorosità e la direzione di un rapporto lineare (riga in alto), ma non la pendenza di tale relazione (in centro), ne eventuali altri aspetti di correlazione non lineare (in basso). N.B.: la figura in centro ha coefficiente di correlazione indefinito dato che ha pendenza uguale a 0, a causa della varianza della variabile Y uguale a 0.]]

In [[statistica]], una '''correlazione''' è una relazione tra due [[Variabile (statistica)|variabili]] tale che a ciascun valore della prima corrisponda un valore della seconda, seguendo una certa regolarità.<ref>{{cita web|url=http://dizionari.corriere.it/dizionario_italiano/C/correlazione.shtml|titolo=Definizione di correlazione|accesso=8 ottobre 2017}}</ref><ref>{{cita web|url=http://www.treccani.it/enciclopedia/correlazione_%28Enciclopedia-Italiana%29/|titolo=CORRELAZIONE|autore=Paolo Enriques|autore2=Filippo Bottazzi|autore3=Giorgio Mortara|data=1931}}</ref> La correlazione non dipende da un rapporto di causa-effetto quanto dalla tendenza di una variabile a cambiare in funzione di un'altra.

Detto altrimenti correlazione non significa causazione<ref>https://www.tylervigen.com/spurious-correlations</ref>. 

== Storia ==
Il termine apparve per la prima volta in un'opera di [[Francis Galton]], ''Hereditary Genius'' (1869).<ref>{{cita web|url=http://padis.uniroma1.it/bitstream/10805/706/1/PiovaniJuanIgnacio106.pdf|titolo=La nascita del concetto di correlazione|accesso=23 gennaio 2018|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20180725214444/http://padis.uniroma1.it/bitstream/10805/706/1/PiovaniJuanIgnacio106.pdf|dataarchivio=25 luglio 2018|urlmorto=sì}}</ref> Non fu definita in modo più approfondito (la moralità di un individuo e la sua instabilità morale sono non correlate)<ref>{{cita web|url=https://www.jstor.org/stable/2245329|titolo=Francis Galton's account of the invention of correlation|data=maggio 1989|lingua=inglese}}</ref>.

Otto anni dopo, nel 1877, lo stesso Galton scoprì che i coefficienti di [[regressione lineare]] tra X e Y sono gli stessi se a entrambe le variabili viene applicata la [[deviazione standard]] &sigma;<sub>x</sub> e &sigma;<sub>y</sub>: Galton utilizzò in realtà lo [[scarto interquartile]], definendo il parametro "coefficiente di co-relazione" e abbreviando "regressione" in ''r''<ref>{{cita web|url=http://www.treccani.it/enciclopedia/regressione/|titolo=Regressione|accesso=18 giugno 2018}}</ref>.

== Descrizione ==
In base alle caratteristiche presentate, la correlazione può definirsi:

* diretta (o positiva): la variazione di un elemento interessa - in via diretta - anche l'altro. Per esempio, alle stature alte dei padri corrispondono stature alte dei figli;
* indiretta (anche inversa o negativa): alla variazione di un elemento corrisponde, in senso contrario, quella dell'altro. Ad esempio, a una maggior produzione di grano corrisponde un prezzo minore.

Inoltre, le correlazioni possono essere:

* semplici: mettono in relazione due fenomeni, per esempio il numero di matrimoni e la quantità di nascite;
* doppie: se i fenomeni posti in relazione sono tre, come la circolazione monetaria, i prezzi e il risparmio;
* triple: quando pongono in relazione tra loro quattro elementi.

Il grado di correlazione tra due variabili viene espresso tramite l'indice di correlazione.<ref>{{cita web|url=http://www.alcula.com/it/calcolatrici/statistica/indice-di-correlazione/|titolo=Indice di correlazione}}</ref> Il valore che esso assume è compreso tra −1 (correlazione inversa) e 1 (correlazione diretta e assoluta), con un indice pari a 0 che comporta l'assenza di correlazione; il valore nullo dell'indice non implica, tuttavia, che le variabili siano indipendenti.

I coefficienti di correlazione sono derivati dagli indici, tenendo presenti le grandezze degli scostamenti dalla [[Media (statistica)|media]]. In particolare, l'[[indice di correlazione di Pearson]] è calcolato come rapporto tra la [[Covarianza (probabilità)|covarianza]] delle due variabili e il prodotto delle loro deviazioni standard:<ref>Dove si semplificano i fattori <math>\frac{1}{n}</math> a numeratore e denominatore.</ref>
:<math>-1\le\rho_{xy}=\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_x)^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n(y_i-\mu_y)^2}}\le+1</math>

Va comunque notato che gli indici e i coefficienti di correlazione siano da ritenersi sempre approssimativi, a causa dell'arbitrarietà con cui sono scelti gli elementi: ciò è vero, in particolare, nei casi di correlazioni multiple.

Contrariamente a quanto si potrebbe intuire, la correlazione non dipende da un [[Causa (filosofia)|rapporto di causa-effetto]] quanto dalla tendenza di una variabile a cambiare in funzione di un'altra.<ref>{{cita web|url=https://pellerey.unisal.it/062006.pdf|titolo=Il concetto di correlazione|formato=PDF|accesso=22 gennaio 2018}}</ref> Le variabili possono essere tra loro dipendenti (per esempio la relazione tra stature dei padri e dei figli) oppure comuni (relazione tra altezza e peso di una persona).<ref>{{cita web|url=http://sisdin.unipv.it/labsisdin/teaching/courses/imadls/files/Correlazione.pdf|titolo=Analisi di correlazione|formato=PDF|accesso=26 novembre 2017}}</ref> 

Nel cercare una correlazione statistica tra due grandezze, per determinare un possibile rapporto di causa-effetto, essa non deve risultare una [[correlazione spuria]].<ref>{{cita web|url=https://www.albanesi.it/raziologia/correlazione.htm|titolo=Correlazione|accesso=2 giugno 2018|urlmorto=sì}}</ref>

== Errore standard ==
Se <math>x</math> e <math>y</math> sono variabili aleatorie, l'[[errore standard]] associato al coefficiente di correlazione è:

:<math>SE_r =\sqrt{\frac{1-r^2}{n-2}},</math><ref>{{Cita web|url=http://profs.sci.univr.it/~chignola/statistica8.pdf|titolo=Slides Chignola Statistica}}</ref>

dove <math>r</math> è il coefficiente di correlazione e <math>n</math> è la numerosità campionaria.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=A. L. Bowley|data=1928|titolo=The Standard Deviation of the Correlation Coefficient|url=https://www.jstor.org/stable/2277400|rivista=Journal of the American Statistical Association|volume=23|numero=161|pp=31-34|doi=10.2307/2277400|issn=0162-1459}}</ref><ref>{{Cita web|titolo=Derivation of the standard error for Pearson's correlation coefficient|url=https://stats.stackexchange.com/questions/226380/derivation-of-the-standard-error-for-pearsons-correlation-coefficient|accesso=21-07-30|sito=Cross Validated}}</ref>

== Note ==
<references />

== Voci correlate ==
* [[Coefficiente di determinazione]]
* [[Correlazione spuria]]
* [[Covarianza (probabilità)]]
* [[Indice di correlazione di Pearson]]
* [[Regressione lineare]]
* [[Variabile (statistica)]]

== Altri progetti ==
{{interprogetto|preposizione=sulla|v=Correlazione e causalità|wikt=correlazione}}

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{Statistica}}
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|statistica}}

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[[Categoria:Econometria]]
[[Categoria:Teoria della probabilità]]
[[Categoria:Analisi della varianza]]