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[[File:Tangency Example 3.svg|frame|La retta ''L'' tangente in ''P'' al grafico della funzione ha [[Coefficiente angolare|pendenza]] data dalla derivata della funzione in ''P'']]
In [[matematica]], la '''derivata''' è una [[Funzione (matematica)|funzione]] che rappresenta il tasso di cambiamento di una data funzione rispetto a una certa variabile, vale a dire la misura di quanto il valore di una funzione cambi al variare del suo argomento. Più informalmente, la derivata misura la crescita (o decrescita) che avrebbe una funzione in uno specifico punto spostandosi di pochissimo dal punto considerato.

La derivata <math>f'(x)</math> di una funzione <math>f(x)</math> in un punto <math>x_0</math>, nel caso di funzioni a una variabile nel [[campo (matematica)|campo]] [[numero reale|reale]], corrisponde alla [[Coefficiente angolare|pendenza]] della [[retta tangente]] al [[grafico di una funzione|grafico della funzione]] <math>f(x)</math> nel punto <math>x_0</math> e ne rappresenta la migliore [[approssimazione lineare]]. Nel caso in cui la derivata esista (cioè la funzione sia derivabile) in ogni punto del [[dominio (matematica)|dominio]], la si può vedere a sua volta come una funzione che associa a ogni punto proprio la derivata in quel punto.

Il concetto di derivata è, insieme a quello di [[integrale]], uno dei cardini dell'[[analisi matematica]] e del [[calcolo infinitesimale]]. Il significato pratico di derivata è il ''tasso'' di variazione di una certa grandezza presa in considerazione. Un esempio molto noto di derivata è la variazione della posizione di un oggetto rispetto al tempo, chiamata [[velocità]] istantanea.

== Descrizione ==
[[File:Graph of sliding derivative line.gif|thumb|upright=1.8|La derivata di una funzione in un punto è il [[coefficiente angolare]] della retta tangente alla curva nel punto. Si tratta quindi di un numero che misura la pendenza della retta tangente.]]
La derivata di una funzione <math>f</math> in un punto  <math>x_0</math> è il valore del [[coefficiente angolare]] della retta tangente alla curva nel punto, cioè la [[tangente (matematica)|tangente trigonometrica]] dell'angolo formato dalla tangente in un punto della curva di equazione <math>y=f(x)</math> e l'asse delle [[ascisse]]. Se la derivata di una funzione <math>f</math> in un punto <math>x_0</math> è <math>f'(x)=0</math>, la retta tangente al grafico della funzione <math>f(x)</math> è parallela all'asse delle ascisse, mentre se il limite mediante cui si calcola la derivata in un punto <math>x_0</math> è infinito la retta tangente al grafico della funzione <math>f(x)</math> è parallela all'asse delle ordinate. La funzione derivata si ricava con una serie di operazioni algebriche note come [[regole di derivazione]], applicabili universalmente a tutte le funzioni derivabili.

Nel caso di funzioni di più variabili la tangente in un punto alla curva della funzione non è unica, ma varia a seconda della direzione scelta. Non si può più quindi definire una sola funzione delle stesse variabili indipendenti che renda conto della pendenza del grafico della funzione in un punto: si ricorre allora alle [[Derivata parziale|derivate parziali]] della funzione, cioè ai coefficienti angolari di tangenti considerate lungo direzioni parallele agli assi che rappresentano le variabili indipendenti.

Le derivate parziali sono tante quante il numero delle variabili stesse, e una loro notevole proprietà è che se la funzione è sufficientemente "regolare" (cioè [[funzione differenziabile|differenziabile]]) è possibile calcolarne la tangente lungo una direzione qualunque con una [[combinazione lineare]] delle derivate parziali stesse. Questo è possibile perché l'[[Operatore (matematica)|operatore]] di derivazione è un [[Trasformazione lineare|operatore lineare]], e quindi la derivata di una combinazione lineare di funzioni derivabili è la combinazione lineare delle derivate delle singole funzioni, e la derivata del prodotto di uno scalare per una funzione è il prodotto dello scalare per la derivata della funzione.

== Definizione ==
[[File:What is derivative (animation).gif|thumb|Un'animazione che dà un'idea intuitiva della derivata, poiché lo "swing" di una funzione cambia quando cambia l'argomento.]]

La nozione di derivata si introduce, nel caso di funzione a una variabile indipendente nel campo reale, considerando una [[funzione (matematica)|funzione]] [[numero reale|reale]] <math>f(x)</math> di variabile reale <math>x</math> e un punto <math>x_0</math> del suo [[dominio (matematica)|dominio]]. La derivata di <math>f(x)</math> in <math>x_0</math> è definita come il numero <math>f'(x_0)</math> uguale al [[limite di una funzione|limite]] del [[rapporto incrementale]] al tendere a 0 dell'incremento, sotto l'ipotesi che tale limite esista e sia finito. In modo esplicito, detto <math>h</math> l'incremento, una funzione <math>f</math> definita in un [[intorno]] di <math>x_0</math> si dice derivabile nel punto <math>x_0</math> se esiste ed è finito il limite:

:<math>f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f( x_0 )}{ h}</math>

e il valore di questo limite è la derivata della funzione nel punto <math>x_0</math>. Se la funzione <math>f(x)</math> è derivabile in ogni punto di un dato intervallo <math>(a,b)</math>, allora si dice che essa è ''derivabile'' in <math>(a,b)</math> e la funzione <math>f'\colon x \in (a,b) \to f'(x)</math> che associa a ogni punto <math>x</math> la derivata <math>f'(x)</math> di <math>f(x)</math> è la ''funzione derivata'' di <math>f</math>.

=== Derivata complessa ===
{{vedi anche|Derivata complessa}}
Nonostante il caso più semplice sia quello delle funzioni reali, la definizione di derivata trova la sua collocazione più naturale nell'ambito dell'[[analisi complessa]], dove, applicata alle [[Funzione di variabile complessa|funzioni di variabile complessa]], prende il nome di derivata complessa.<ref>{{Cita web|http://mathworld.wolfram.com/Derivative.html|Weisstein, Eric W. ''Derivative.'' From MathWorld|25-11-2012}}</ref> Detto <math>U</math> un [[insieme aperto|sottoinsieme aperto]] del [[piano complesso]], una [[Funzione di variabile complessa|funzione complessa]] <math>f\colon U \to \Complex</math> è ''differenziabile in senso complesso'' in un punto <math>z_0 \in U</math> se esiste il [[limite di una funzione|limite]]:<ref>{{cita web|http://mathworld.wolfram.com/ComplexDifferentiable.html|Rowland, Todd. ''Complex Differentiable.'' From MathWorld|25-11-2012}}</ref>

:<math>f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0) }{ z - z_0 }.</math>

Tale limite va inteso in relazione alla [[topologia]] del piano. In altre parole, per ogni [[successione (matematica)|successione]] di numeri complessi che [[limite di una successione|converge]] a <math>z_0</math>, il rapporto incrementale deve tendere a un medesimo numero, indicato con <math>f'(z_0).</math> Se <math> f </math> è [[derivata complessa|differenziabile in senso complesso]] in ogni punto <math>z_0 \in U </math>, si dice che è una [[funzione olomorfa]] su <math> U </math>.

==== Relazione tra derivata reale e complessa ====
La relazione tra la [[Funzione differenziabile|differenziabilità]] di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa:

:<math>f(z) \equiv f(x + iy)=u(x,y)+ iv(x,y)</math>

è olomorfa allora <math> u </math> e <math> v </math> possiedono [[derivata parziale]] prima rispetto a <math> x </math> e <math> y </math> e soddisfano le [[equazioni di Cauchy-Riemann]]:<ref>{{Cita web|http://mathworld.wolfram.com/Cauchy-RiemannEquations.html|Weisstein, Eric W. ''Cauchy-Riemann Equations.'' From MathWorld|25-11-2012}}</ref>

:<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.</math>

In modo equivalente, la [[derivata di Wirtinger]] <math>\partial f / \partial\overline{z}</math> di <math>f</math> rispetto al [[complesso coniugato]] <math> \overline{z} </math> di <math> z </math> è nulla.

=== Derivata destra e derivata sinistra ===
La ''derivata destra'' di <math>f</math> in <math>x_0</math> è il numero:

:<math>f'_+(x_0) = \lim_{h \to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.</math>

Analogamente, la ''derivata sinistra'' di <math>f</math> in <math>x_0</math> è il numero:

:<math>f'_-(x_0) = \lim_{h \to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.</math>

Una funzione è derivabile in <math>x_0</math> se e solo se esistono finite e uguali le derivate destra e sinistra. Queste permettono inoltre di definire la derivabilità su un intervallo non aperto: se <math>f</math> è definita ad esempio nell'intervallo chiuso <math>[a,b]</math>, si dice che <math>f</math> è derivabile in <math>[a,b]</math> se è derivabile in ogni punto interno <math>x \in (a,b)</math> e se esistono le derivate destra e sinistra rispettivamente negli estremi <math>x = a</math> e <math>x = b</math>.

Le derivate destre e sinistre sono un caso particolare in <math>\mathbb{R}</math> della [[derivata direzionale di Dini]] nelle direzioni parallele e versi concordi a <math>1</math> e <math>-1</math> (per rispettivamente derivata destra e sinistra). Infatti in <math>\mathbb{R}</math> tutti i punti, visti come vettori in uno [[spazio vettoriale]] di dimensione <math>1</math>, sono paralleli e possono essere solo di verso concorde o discorde.

=== Notazioni ===
{{vedi anche|Notazione per la differenziazione}}
La prima notazione di derivata nel punto <math>x_0</math> che compare storicamente è:

:<math>\left(\frac {\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} \right)_{(x_0)}</math>

ancora oggi usata in [[fisica]]. In alternativa, secondo la [[notazione di Lagrange]] viene indicata con:

:<math>f ^{\prime} (x_0),</math>

secondo la [[notazione di Cauchy-Eulero]] con:

:<math>\operatorname D \left[{f}({x_0})\right]</math>

o più recentemente, per sottolineare che la derivata ha come argomento una funzione e non un punto, con

:<math>\operatorname D\left(f\right)(x_0),</math>

secondo la [[notazione di Leibniz]] con:

:<math>\frac {\mathrm{d} f(x_0)}{\mathrm{d} x}</math>

e secondo la [[notazione di Newton]] con:

:<math>\dot f(x_0).</math>

=== Derivata parziale ===
{{vedi anche|Derivata parziale}}
Nel caso di una funzione di più variabili, l'incremento della funzione rispetto a una sola variabile è la derivata parziale della funzione rispetto a tale variabile. Data una funzione vettoriale di più variabili <math>\mathbf{F}: E \subset \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m</math> definita su un [[insieme aperto]] dello [[spazio euclideo]] <math> \mathbb R^n </math>, dette <math>\{\mathbf e_i\}_{1 \le i \le n} </math> e <math>\{\mathbf u_i\}_{1 \le i \le m} </math> le [[base canonica|basi canoniche]] di <math> \mathbb R^n </math> e <math> \mathbb R^m </math> rispettivamente, la funzione può essere scritta nel seguente modo:

:<math>\mathbf{F}(\mathbf x ) = \sum_i^m F_i(\mathbf x ) \mathbf u_i, \quad \mathbf x = (x_1,x_2, \dots , x_n) \in E.</math>

La componente <math>i</math>-esima della funzione è allora:

:<math>F_i(\mathbf x ) = \mathbf F(\mathbf x ) \cdot \mathbf u_i, \quad 1 \le i \le m.</math>

Si definisce derivata parziale di <math> F_i</math> rispetto alla variabile <math>x_j</math> il limite:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 216|rudin}}.</ref>

:<math>\frac{\partial F_i (\mathbf {x})}{\partial x_j}=\lim_{t\to 0} \frac{F_i (\mathbf x + t\mathbf e_j) - F_i (\mathbf x)}{t}= \lim_{t\to 0} \frac{F_i (x_1,x_2, \ldots x_j + t, \ldots, x_n) - F_i (x_1,x_2, \ldots , x_n)}{t}.</math>

Tale limite è a volte chiamato limite del [[rapporto incrementale]] di <math>f</math> nel punto <math>\mathbf {x}</math>, e viene denotato anche con <math>D_jF_i</math>. La derivata parziale di una funzione, o nel caso di funzione vettoriale di una sua componente, si effettua quindi considerando le variabili diverse da quella rispetto a cui si vuole derivare come costanti e calcolandone il rapporto incrementale.

=== Derivata direzionale ===
{{vedi anche|Derivata direzionale}}
La derivata direzionale di una funzione scalare <math>f(\mathbf{x}) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)</math> lungo un [[Vettore (matematica)|vettore]] unitario <math>\mathbf{u} = (u_1, \ldots, u_n)</math> è la [[Funzione (matematica)|funzione]] definita dal [[Limite di una funzione|limite]]:

:<math>\operatorname D_{\mathbf{u}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0^+}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{u}) - f(\mathbf{x})}{h}}.</math>

Se la funzione <math>f</math> è [[funzione differenziabile|differenziabile]] in <math>\mathbf{x}</math>, allora la derivata direzionale esiste lungo ogni vettore unitario <math>\mathbf{u},</math> e si ha:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 219|rudin}}.</ref>

:<math>\operatorname D_{\mathbf{u}}{f}(\mathbf{x}) = \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{u},</math>

dove <math>\nabla f</math> al secondo membro rappresenta il [[gradiente]] di <math>f</math> e <math>\cdot</math> il [[prodotto scalare]] [[Spazio euclideo|euclideo]]. In <math>\mathbf{x}</math> la derivata direzionale di <math>f</math> rappresenta la variazione di <math>f</math> lungo <math>\mathbf{u}</math>.

== Generalizzazioni della derivata ==
{{Vedi anche|Generalizzazioni della derivata}}

== Differenziabilità di una funzione ==
{{vedi anche|Funzione differenziabile|Classe C di una funzione|Differenziale (matematica)}}
[[File:Tangent to a curve.svg|thumb|Una funzione da <math>\R</math> in <math>\R</math> è [[funzione derivabile|derivabile]] in un punto se è approssimabile vicino a quel punto da una retta. Tale retta deve quindi essere tangente al [[grafico di una funzione|grafico]] della funzione. Questa nozione si estende in dimensioni arbitrarie, e prende il nome di ''funzione differenziabile''.]]
Una funzione differenziabile in un punto è una [[Funzione (matematica)|funzione]] che può essere approssimata da una [[trasformazione lineare]] nel punto. Affinché ciò si verifichi è necessario che tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] calcolate nel punto esistano, ovvero esistono finiti i limiti dei rapporti incrementali direzionali (dunque, se una funzione è differenziabile in un punto allora è derivabile nel punto). La proprietà di differenziabilità di una funzione consente di generalizzare il concetto di [[funzione derivabile]] a funzioni vettoriali di variabile vettoriale, e permette di individuare per ogni punto del suo [[Grafico di una funzione|grafico]] un [[iperpiano]] tangente.

Una funzione <math>\mathbf{F}\colon U \rightarrow \mathbb R^m</math> definita su un [[insieme aperto]] dello [[spazio euclideo]] <math>\mathbb R^n</math> è detta differenziabile in un punto <math>\mathbf{x}_0</math> del dominio se esiste una [[applicazione lineare]] <math>\mathbf{L}:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m</math> tale che valga l'approssimazione:

:<math>\mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0) = \mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} + \mathbf r(\mathbf{h}),</math>

dove <math>\mathbf r(\mathbf{h})</math> si annulla all'annullarsi dell'incremento <math>\mathbf{h}</math>. Tale condizione si può scrivere in modo equivalente:

:<math>\lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac { \mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0)-\mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} } {\| \mathbf{h}\| } = \mathbf{0}.</math>

Se la funzione <math>\mathbf{F}</math> è differenziabile in <math>\mathbf{x}_0</math>, l'applicazione <math>\mathbf{L}</math> è rappresentata dalla [[matrice jacobiana]] <math>J_F</math>.

Il vettore:

:<math>\mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} =\mathrm{d}\mathbf{F}(\mathbf{x}_0) = J_F \mathbf h</math>

si chiama ''differenziale'' di <math>\mathbf{F}</math> in <math>\mathbf{x}_0</math> e <math>\mathbf{L}(\mathbf{x_0})</math> è la [[derivata totale]] della funzione <math>\mathbf{F}</math>.

La funzione <math>\mathbf{F}</math> è infine differenziabile se lo è in ogni punto del dominio.<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 214|rudin}}.</ref> In particolare, il teorema del differenziale totale afferma che una funzione è differenziabile in un punto se tutte le derivate parziali esistono in un intorno del punto per ogni componente della funzione e se sono inoltre [[Funzione continua|funzioni continue]]. Se inoltre l'applicazione che associa <math>\mathbf{x}</math> a <math>\mathbf{L} (\mathbf{x})</math> è continua, la funzione si dice ''differenziabile con continuità''.<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 220|rudin}}.</ref>

== Continuità e derivabilità ==
{{vedi anche|Funzione continua}}
Il teorema di continuità asserisce che se <math>f(x)</math> è derivabile in <math>x_0</math> allora <math>f(x)</math> è anche continua in <math>x_0</math>.

Non vale il teorema che si ottiene invertendo le ipotesi con le tesi: ad esempio, la funzione <math>f(x) = |x|</math> è continua su tutto il dominio, ma non è derivabile nel punto <math>x_0=0</math>, perché limite destro e limite sinistro del rapporto incrementale non coincidono. La continuità di una funzione è quindi condizione necessaria, ma non sufficiente, per determinarne la derivabilità. Una funzione può inoltre essere derivabile (e quindi continua) in un punto <math>p</math>, ma essere discontinua in ogni punto intorno a <math>p</math>. Questo accade per funzioni come:

:<math>f(x) = \begin{cases}
0, & \text{ se } x \in \mathbb{Q}, \\
x^2, & \text{ se } x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}.
\end{cases}</math>

essendo <math>\mathbb{Q}</math> l'[[insieme]] dei [[numeri razionali]] e <math>\mathbb{R} </math> l'insieme dei [[numeri reali]], mentre il simbolo "\" denota la [[insieme complementare|differenza]] tra insiemi. La funzione in esame ammette derivata in <math>0</math> (vale <math>0</math> il limite del [[rapporto incrementale]]) ma non è continua in nessun punto eccetto lo <math>0</math>. Notiamo che se invece una funzione è [[#Derivata n-esima|due volte derivabile]] in un punto, allora è continua in un intorno di quel punto.

Per mostrare che se <math>f(x)</math> è derivabile in <math>x_0,</math> allora è continua in <math>x_0</math>, si considera l'uguaglianza precedente:

:<math>f(x)= f(x_0) + f^{\prime}(x_0)(x - x_0) + o(x-x_0),</math>

da cui:

:<math>\lim_{x \to x_0}f(x)= \lim_{x \to x_0}f(x_0) + f^{\prime}(x_0)(x - x_0)+ o(x-x_0)= f(x_0).</math>

Quindi la funzione è continua in <math>x_0</math>. La stima lineare della funzione attorno a <math>x_0</math> costituisce una migliore approssimazione rispetto a:

:<math>f(x) = f(x_0) + o(1)</math>

garantita dalla sola continuità (qui <math>o(1) \underset{x \to x_0}{\longrightarrow} 0</math>). Se la funzione è derivabile in <math>x_0</math> si può "scomporre" l'infinitesimo <math>o(1)</math> in un termine lineare e un infinitesimo di ordine superiore. Il [[#Teorema di Lagrange|teorema di Lagrange]] fornisce una diversa approssimazione (sempre lineare) nell'ipotesi che la funzione sia derivabile in un intorno di <math>x_0</math>:

:<math>f(x) = f(x_0) + f^{\prime}(\xi)(x-x_0)</math>

per tutti gli <math>x</math> in tale intorno, e con <math>\xi</math> un dato punto in <math>(x_0, x)</math> (o <math>(x, x_0)</math>, se è un intorno sinistro). Benché ora l'approssimazione sia "esatta" (non ci sono termini [[Infinitesimo|infinitesimi]] che vengono trascurati), il teorema non è in grado di mostrare per quale <math>\xi</math> sia vera l'uguaglianza.

=== Funzioni non derivabili ===
[[File:Absolute value.svg|thumb|La funzione [[valore assoluto]] non è derivabile nell'origine, dove ha un [[punto angoloso]]]]
Una funzione continua può essere non derivabile. Ad esempio, una funzione continua può non essere derivabile in un [[punto isolato]] del dominio, in presenza di un [[punto angoloso]], una [[cuspide (matematica)|cuspide]] o un [[flesso]] a tangente verticale. Esistono anche funzioni continue che presentano forme più complesse di non derivabilità, come ad esempio la [[funzione di Cantor]]. La [[funzione di Weierstrass]] è una funzione reale di variabile reale che ha la proprietà di essere continua in ogni punto ma di non essere derivabile in nessuno.

== Teoremi ==
Vengono enunciati di seguito alcuni [[teorema|teoremi]] e risultati significativi.

=== Regole di derivazione ===
{{vedi anche|Regole di derivazione}}
Siano <math>f(x)</math> e <math>g(x)</math> funzioni reali di variabile reale <math>x</math> derivabili, e sia <math>\mathrm{D}</math> l'operazione di derivazione rispetto a <math>x</math>:

:<math>\mathrm{D}[f(x)]=f'(x), \qquad \mathrm{D}[g(x)]=g'(x).</math>

* [[Regola della somma]] ([[Operatore lineare|linearità]]):

:<math>\mathrm{D}[\alpha f(x)+ \beta g(x)] = \alpha f'(x) + \beta g'(x), \qquad \alpha, \beta \in \R.</math>

* [[Regola del prodotto]] (o ''di [[Leibniz]]''):

:<math>\mathrm{D} [ {f(x) \cdot g(x)}] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x).</math>

* [[Regola del quoziente]]:

:<math>\mathrm{D}\! \left[ {f(x) \over g(x)} \right] = { f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) \over g(x)^2}.</math>

* [[Regola della funzione reciproca]]:

:<math>\mathrm{D}\! \left[ {1 \over f(x)} \right] = -{f'(x) \over f(x)^2}.</math>

* [[Regola della funzione inversa]]:

:<math>\mathrm{D}[f^{-1}(y)] = {1 \over f'(x)},</math>

:con:

:<math> y = {f(x)}, \qquad x = {f^{-1}(y)}.</math>

* [[Regola della catena]]:

:<math>\mathrm{D} \left[ f \left( g(x) \right) \right] = f' \left( g(x) \right) \cdot g'(x).</math>

=== Teorema di Fermat ===
{{vedi anche|Teorema di Fermat sui punti stazionari}}
Sia <math>f(x)</math> una [[Funzione (matematica)|funzione]] derivabile, e quindi continua, in un punto <math>x_0</math> [[parte interna|interno]] al [[dominio (matematica)|dominio]]. Se <math>x_0</math> è un punto di [[punto estremante|massimo]] o di [[punto estremante|minimo]] per la funzione <math>f,</math> allora la derivata della funzione in <math>x_0</math> è nulla, cioè <math>f'(x_0) = 0</math>.

Non è indispensabile che <math>x_0</math> sia interno al dominio, essendo sufficiente che si tratti di un [[punto di accumulazione]] da destra e da sinistra per il dominio, mentre è essenziale porre che la funzione sia derivabile nel punto <math>x_0</math> in quanto non è possibile dedurne la derivabilità dalle altre ipotesi del teorema. Ogni punto in cui <math>f'(x)</math> si annulla (cioè è uguale a zero) è chiamato [[punto stazionario]]. I massimi e minimi relativi sono chiamati ''punti stazionari'' di <math>f'(x)</math>.

Questo teorema è molto usato nello [[studio di funzione]], in quanto definisce la possibilità di avere un punto di [[massimo e minimo di una funzione|massimo o di minimo]] dove la funzione derivata si annulla.

=== Teorema di Rolle ===
{{Vedi anche|Teorema di Rolle}}
Sia <math>f(x)</math> una funzione continua nell'intervallo chiuso <math>[a,b]</math> e derivabile nell'intervallo aperto <math>(a,b)</math>. Se <math>f(a)=f(b),</math> allora esiste almeno un punto <math>x_0 \in (a,b)</math> in cui la derivata prima <math>f'(x)</math> si annulla.

=== Teorema di Lagrange ===
{{Vedi anche|Teorema di Lagrange}}
Sia <math>f(x)</math> una funzione continua in <math>[a,b]</math> e derivabile nell'intervallo aperto <math>(a,b)</math>. Allora esiste almeno un punto <math>x_0 \in (a,b)</math> tale per cui:

:<math>f'(x_0) = {{f(b) - f(a)} \over {b-a}}.</math>

Il teorema afferma che esiste almeno un punto <math>(x_0,f(x_0))</math> del grafico della funzione in cui la retta tangente ha coefficiente angolare uguale a quello della [[Corda (geometria)|corda]] della retta passante per i punti <math>(a,f(a))</math> e <math>(b,f(b))</math>. Si tratta di una generalizzazione del [[teorema di Rolle]] che analizza il caso in cui <math>f(a)</math> è diverso da <math>f(b)</math>.

=== Teorema di Cauchy ===
{{vedi anche|Teorema di Cauchy (analisi matematica)}}
Siano <math>f(x)</math> e <math>g(x)</math> funzioni continue in <math>[a,b]</math> e derivabili in <math>(a,b)</math> con <math>g'(x)</math> diversa da 0 per ogni punto dell'intervallo. Allora esiste almeno un punto <math>x_0 \in (a,b)</math> tale per cui:

:<math>{f'(x_0) \over g'(x_0)} = {{f(b) - f(a)} \over {g(b)-g(a)}}.</math>

Considerando in particolare la funzione <math>g(t) = t</math>, si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange.

Con il teorema di Cauchy è inoltre possibile dimostrare la [[regola di de l'Hôpital]].

=== Monotonia a partire dalla derivata ===
{{vedi anche|Teorema di Lagrange}}
Sia <math>f(x)</math> continua in <math>[a,b]</math> e derivabile in <math>(a,b)</math>. Allora:

* Per ogni <math>x \in (a,b)</math> si ha <math>f'(x) \geqslant 0 </math> [[se e solo se]] la funzione è [[funzione crescente|crescente]] in <math>(a,b)</math>.
* Per ogni <math>x \in (a,b)</math> si ha <math>f'(x) \leqslant 0 </math> se e solo se la funzione è decrescente in <math>(a,b)</math>.

La funzione può non essere ''strettamente'' crescente (o decrescente), e il teorema è direttamente ricavabile dall'enunciato di Lagrange.

Analogamente, valgono anche i fatti seguenti:

* Se per ogni <math>x \in (a,b)</math> si ha <math>f'(x)>0,</math> allora la funzione è [[funzione strettamente crescente|strettamente crescente]] in <math>(a,b)</math>.
* Se per ogni <math>x \in (a,b)</math> si ha <math>f'(x)<0,</math> allora la funzione è strettamente decrescente in <math>(a,b)</math>.

Una funzione strettamente crescente non ha necessariamente derivata ovunque positiva. Ad esempio, <math>f(x) = x^3</math> è strettamente crescente, ma ha derivata nulla nell'origine, dove c'è un [[punto di flesso]].

Il teorema della funzione costante afferma che una funzione è [[Funzione costante|costante]] in un [[intervallo (matematica)|intervallo]] <math>[a,b]</math> se e solo se è derivabile e la derivata è ovunque nulla nell'intervallo. Mentre la condizione necessaria è conseguenza della definizione di derivata (la derivata di una costante è uguale a zero), la sufficienza segue dal [[teorema di Lagrange]].

== Derivate di ordine superiore ==
La derivata <math>n</math>-esima <math>f^{(n)}</math> di una funzione <math>f</math> è la funzione che si ottiene derivando successivamente <math>n</math> volte la funzione <math>f</math>. Si definiscono così la derivata seconda, terza, e così via; e si usa generalmente una delle seguenti notazioni:

:<math>\begin{align}
f'' = f^{(2)} &= \frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}x^2} \\
f''' = f^{(3)} &= \frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}x^3} \\
&\vdots\\
f^{(n)} &= \frac{\mathrm{d}^nf}{\mathrm{d}x^n}.
\end{align}</math>

Una funzione derivabile non è necessariamente derivabile <math>n</math> volte. Ad esempio, la funzione <math>f(x) = x|x|</math> ha una derivata prima, ma non una seconda: infatti, la derivata di <math>f</math> è <math>f'(x)=2|x|</math>, che non è a sua volta derivabile nell'origine.

La [[Classe C di una funzione|classe]] delle funzioni derivabili <math>n</math> volte e la cui derivata <math>n</math>-esima è continua si indica con <math>C^n</math>.

=== Convessità ===
{{vedi anche|Funzione convessa}}
Sia <math>f\colon [a,b] \to \mathbb{R}</math> derivabile. Allora <math>f(x)</math> è convessa se e solo se <math>f'(x)</math> è crescente in <math>[a,b]</math>. Se <math>f</math> possiede derivata seconda, allora la convessità della funzione è data dalla [[disequazione]]:

:<math>f''(x) \ge 0.</math>

Il cambiamento di segno della derivata seconda determina quindi un cambiamento di convessità della funzione e un relativo punto di [[flesso]].

== Significato geometrico della derivata ==
[[File:Derivative - geometric meaning.svg|thumb|upright=1.8|La retta in rosso è la tangente al grafico della <math>f(x)</math> nel punto <math>(x_0, f(x_0))</math>]]
Il valore della derivata di <math>f(x)</math> calcolata in <math>x_0</math> ha un significato geometrico: è il [[coefficiente angolare]] della retta tangente alla curva rappresentata dal [[grafico di una funzione|grafico]] di <math>f(x)</math> nel punto di coordinate <math>(x_0,f(x_0))</math>. In altre parole, la derivata è il valore della [[tangente (matematica)|tangente trigonometrica]] dell'angolo (convesso) che la retta tangente in <math>x_0</math> al grafico della funzione forma con l'asse delle ascisse (a patto che tale angolo non sia [[angolo retto|retto]]).

L'equazione della retta tangente in <math>x_0</math> risulta:

:<math>y = f(x_0) + f '(x_0)(x-x_0).</math>

Più precisamente, se <math>f(x)</math> è derivabile nel punto <math>x_0</math>, allora esiste una funzione <math>o(x-x_0)</math> definita in un [[intorno]] di <math>x_0</math> tale che:

:<math>f(x)=f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x-x_0),</math>

con:

:<math>\lim_{x \to x_0}{{o(x-x_0)}\over{x-x_0}} = 0 </math>

e tale formula è l'[[Teorema di Taylor|espansione di Taylor]] di <math>f(x)</math> troncata al termine di primo grado. Si dice che <math>o(x-x_0)</math> è un [[Stima asintotica|infinitesimo di ordine superiore]] alla funzione <math>(x-x_0)</math>, e con questo si vuole esprimere l'idea che il termine <math>o(x-x_0)</math> fornisce un contributo che diventa trascurabile rispetto agli altri termini quando ci si avvicina a <math>x_0</math>. Si può anche dire che una funzione derivabile in <math>x_0</math> è [[approssimazione lineare|approssimabile linearmente]] intorno a <math>x_0</math> con la sua [[retta tangente]] in tale punto.

Se si definisce infatti <math>o(x-x_0)</math>, avente lo stesso dominio di <math>f</math>, come:

:<math> o(x-x_0) = f(x) - f(x_0) - f ^{\prime}(x_0) (x - x_0),</math>

si verifica che:

:<math>\lim_{x \to x_0}{{o(x-x_0)}\over{x-x_0}} = \lim_{x \to x_0}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} - f ^{\prime}(x_0)\right).</math>

Ricordando che per <math>x \to x_0</math> allora <math>x-x_0 \to 0</math>, e quindi <math> h = x-x_0</math>. Sostituendo questa ultima uguaglianza con la precedente equazione si ha:

:<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} - f ^{\prime}(x_0) = 0.</math>

== Esempio ==
Una funzione espressa come [[serie di potenze]] <math>\sum_{n=0}^\infty a_n X^n</math> con [[raggio di convergenza]] <math>r</math> è continua e derivabile su tutto l'intervallo <math>(-r, r)</math>. La derivata può essere calcolata derivando termine a termine la serie nel modo seguente:

:<math>f'(x) = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}.</math>

Tuttavia, in una serie di potenze si preferisce che <math>n</math> sia l'indice della potenza, quindi utilizzando uno shift diventa:

:<math>f'(x) = \sum_{n=0}^\infty {(n+1)} a_{n+1} x^{n}.</math>

Questo tipo di derivata è importante per lo [[sviluppo di Taylor]] e Maclaurin.

== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==
* [[Paolo Marcellini]], [[Carlo Sbordone]]: ''Analisi Matematica Uno'', Liguori Editore, 1998, ISBN 9788820728199
* [[Nicola Fusco (matematico)|Nicola Fusco]], [[Paolo Marcellini]], [[Carlo Sbordone]]: ''Lezioni di Analisi Matematica Due'', Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203
* {{cita libro | autore=[[Walter Rudin]]| titolo= Principi di Analisi Matematica | editore= McGraw-Hill | città= Milano | isbn= 88-386-0647-1|cid =rudin |anno= 1991}}
* {{en}} Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). ''Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing''. New York: Dover, p.&nbsp;11, 1972.
* {{en}} Amend, B. ''Camp FoxTrot''. Kansas City, MO: Andrews McMeel, p.&nbsp;19, 1998.
* {{cita libro|autore=Anton, Howard|titolo=Calculus: A New Horizon, 6th ed.|url=https://archive.org/details/calculusnewhoriz00anto|città=New York|editore=Wiley|anno=1999|ISBN=978-04-71153-06-1|lingua=en}}
* {{en}} Beyer, W. H. ''Derivatives''. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp.&nbsp;229–232, 19

== Voci correlate ==
{{Div col}}
* [[Approssimazione lineare]]
* [[Classe C di una funzione]]
* [[Derivata mista]]
* [[Derivata parziale]]
* [[Derivata direzionale]]
* [[Derivata simmetrica]]
* [[Derivata totale]]
* [[Derivazione complessa]]
* [[Funzione differenziabile]]
* [[Funzione olomorfa]]
* [[Generalizzazioni della derivata]]
* [[Gradiente]]
* [[Integrale]]
* [[Matrice jacobiana]]
* [[Notazione per la differenziazione]]
* [[Rapporto incrementale]]
* [[Regole di derivazione]]
* [[Sviluppo di Taylor]]
{{Div col end}}

== Altri progetti ==
{{interprogetto|wikt=derivata|b=Calcolo differenziale|v=Algebra delle derivate|preposizione=sulla}}

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/analysis/function.it WIMS Function Calculator] calcolo delle derivate online; questo sito permette anche di fare esercizi interattivi
* {{cita web|http://easycalculation.com/differentiation/differentiation-calculator.php|Differenziazione calcolatrice}}
* {{en}} [http://www.numberempire.com/derivatives.php Online Derivatives Calculator].
* [http://www.electroyou.it/category/matematica/ Limite, derivate, integrali] Directory con varie risorse sulle derivate

{{Analisi matematica}}
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|matematica}}

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[[Categoria:Operatori lineari]]