View source for Disuguaglianza di Bernoulli

[[File:Bernoulli inequality.svg|miniatura|Illustrazione grafica delle funzioni coinvolte nella disuguaglianza per n = 3]]

La '''disuguaglianza di Bernoulli''' afferma che:
:<math>(1+x)^n \ge 1 + nx</math>
per ogni [[numero intero|intero]] ''n''&nbsp;≥&nbsp;0 e ogni [[numero reale]] ''x''&nbsp;>&nbsp;-1. La disuguaglianza di Bernoulli è un passo cruciale nella dimostrazione di altre disuguaglianze e si rivela uno strumento fondamentale per importanti dimostrazioni (tra cui quelle di [[Limiti notevoli|particolari limiti]]).

== Storia ==
La disuguaglianza prende il nome da [[Jacob Bernoulli]], celebre matematico del [[XVII secolo]], che ne pubblicò per primo l'enunciato nella seconda pagina del trattato ''Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis'' pubblicato a [[Basilea]] nel [[1689]], facendone frequente uso nelle rimanenti parti dell'opera<ref name="History"/>. Bernoulli ne dà una dimostrazione basata sul V libro degli ''[[Elementi (Euclide)|Elementi]]'' di [[Euclide]]<ref name="History"/>, ma [[André Weil]] ritiene che Bernoulli fosse consapevole del fatto che la disuguaglianza aveva un significato anche in [[matematica finanziaria]], in cui essa equivale a dire che indebitarsi a [[interesse composto]] è più oneroso che a [[interesse semplice]].<ref name="History">{{cita web | url = https://hsm.stackexchange.com/a/1891 | titolo =  First use of Bernoulli's inequality and its name |editore= History of Science and Mathematics | sito = Stack Exchange| lingua = en | accesso = 10 maggio 2016}}</ref>

Secondo quanto riporta Joseph E. Hofmann in un suo articolo sulla ''Exercitatio Geometrica'' di [[Michelangelo Ricci]]<ref>{{cita pubblicazione | nome = Jos. E. | cognome = Hofmann | titolo = Über die Exercitatio Geometrica des M. A. Ricci | lingua = de | rivista = Centaurus | url = http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1600-0498.1964.tb00443.x/abstract| volume = 9 | numero = 3 1963/1964 | mese = marzo | anno = 1964 | mr = 161779 | doi = 10.1111/j.1600-0498.1964.tb00443.x | p = 177}}</ref> l'enunciazione della diseguaglianza si deve a [[René-François de Sluse]] che la espose nell'edizione [[1668]] del suo trattato sul [[mesolabio]] di [[Eratostene]], al capitolo IV, intitolato ''De maximis & minimis''<ref name="History"/><ref>{{cita libro | nome = René-François | cognome = de Sluse | wkautore = René-François  | titolo = Mesolabum  | lingua = la | capitolo = Caput IV | editore = apud Guilielmum Henricum Streel, serenissimae sua celsitudinis typographum | anno = 1668 }}</ref>.

== Dimostrazione ==
=== Dimostrazione per induzione ===
La [[disuguaglianza (matematica)|disuguaglianza]]  può essere dimostrata per [[induzione matematica|induzione]]. 

La verifica della tesi è [[banale (matematica)|banale]] per ''n''&nbsp;=&nbsp;0. Si supponga che sia vera per ''n'': per completare l'induzione occorre dimostrare che è vera anche per ''n''&nbsp;+&nbsp;1. Moltiplicati entrambi i membri per (1&nbsp;+&nbsp;''x''), fattore che è sempre maggiore di 0 per ipotesi, si ottiene:

:<math>(1 + x)^{n+1} \ge (1 + nx)(1 + x)</math>
:<math>(1 + x)^{n+1} \ge 1 + x + nx + nx^2</math>
:<math>(1 + x)^{n+1} \ge 1 + (1 + n)x + nx^2</math>

Poiché ''nx''<sup>2</sup>&nbsp;≥&nbsp;0, l'omissione di questo termine può solo rendere più forte la relazione di disuguaglianza, quindi:

:<math>(1 + x)^{n+1} \ge 1 + (1 + n)x + nx^2 \ge 1 + (1 + n)x</math>       Q.E.D.
=== Dimostrazione con lo sviluppo binomiale ===
Una versione più debole, in cui si suppone solo <math> x \geq 0 </math>, può essere ricavata come immediata conseguenza dello [[sviluppo binomiale]] del primo membro:

:<math>(1+x)^n = 1 + nx + {n \choose 2}x^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^{n-1} + {n \choose n}x^n,</math>

in cui si trascurano tutti i termini dello sviluppo contenenti potenze di ''x'' il cui ordine sia superiore a 1 (si suppone ''n'' > 0, visto che per ''n'' = 0 la si verifica in modo diretto). 

=== Dimostrazione di René-François de Sluse ===

La dimostrazione pubblicata da René-François de Sluse nel [[1668]], anch'essa ristretta al caso <math> x \ge 0</math>.  Scartando il caso banale <math> x = 0</math>, si avrà l'ipotesi <math> x > 0</math>. La dimostrazione di de Sluse  parte da una catena di ''n'' disuguaglianze che, in notazione moderna, si esprimono così:

:<math>\frac{1 + nx}{1 + (n-1)x} < \frac{1 + (n-1)x}{1 + (n-2)x} < ... < \frac{1 + 2x}{1 + x} < \frac{1 + x}{1}</math>

Si tratta di diseguaglianze evidenti: infatti, partendo da destra, in ogni passo viene sommata una stessa quantità positiva (<math> x </math>) al numeratore e al denominatore; di conseguenza, in ogni passaggio la frazione diminuisce rimanendo maggiore di 1.

Moltiplicando tra loro gli ''n'' termini della catena, e semplificando numeratori e denominatori, si ottiene: 

:<math>1 + nx</math>

D'altro canto, ciascun fattore della moltiplicazione è minore del termine più a destra, (<math>1 + x</math>). Quindi, il risultato della moltiplicazione è minore di <math>(1+x)^n</math>, da cui la tesi.

== Generalizzazioni ==

Se l'esponente ''n'' è [[numero pari|pari]], la disuguaglianza è valida per ''ogni'' numero reale ''x''. Se ''n''&nbsp;≥&nbsp;2 e  ''x''&nbsp;>&nbsp;−1 con ''x''&nbsp;≠&nbsp;0, allora vale la disuguaglianza stretta:

:<math>(1+x)^n > 1 + nx</math>

Vi sono anche delle versioni più forti della disuguaglianza di Bernoulli, per esempio:

:<math>(1 + x)^n \geq 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2</math>

per ogni ''n''&nbsp;≥0 e ''x''&nbsp;≥0.

La disuguaglianza può anche essere generalizzata ad un qualsiasi esponente reale ''r''. Infatti, se ''x''&nbsp;>&nbsp;−1, allora
:<math>(1 + x)^r \geq 1 + rx</math>
per ''r''&nbsp;≤&nbsp;0 oppure ''r''&nbsp;≥&nbsp;1, e
:<math>(1 + x)^r \leq 1 + rx</math>
per 0&nbsp;≤&nbsp;''r''&nbsp;≤&nbsp;1.
Questa generalizzazione può essere dimostrata confrontando le [[derivata|derivate]].
Anche in questo caso, vale la disuguaglianza stretta se ''x''&nbsp;≠&nbsp;0 e ''r''&nbsp;≠&nbsp;0 e da 1.

== Disuguaglianze collegate ==
La seguente disuguaglianza fornisce una stima per eccesso della potenza ''r''-esima di 1&nbsp;+&nbsp;''x''. Per ogni numero reale ''x'' ed ''r''&nbsp;&gt;&nbsp;0, vale
:<math>(1 + x)^r < e^{rx},</math>
dove ''e'' = [[e (costante matematica)|2.718...]].
È possibile dimostrare questa disuguaglianza sfruttando il fatto che (1 + 1/''k'')<sup>'''k'''</sup> < ''e''.

== Note ==

<references/>

== Bibliografia ==
* [[Paolo Marcellini]], [[Carlo Sbordone]] ''Analisi Matematica Uno'', Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2, 1998, paragrafi 11 e 31.

==Voci correlate==
* [[Jakob Bernoulli]]

== Altri progetti ==
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== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{analisi matematica}}
{{portale|matematica}}

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