View source for Funzione generatrice dei momenti

La '''funzione generatrice dei momenti''' viene usata nella [[teoria della probabilità]] per caratterizzare in modo astratto le [[variabile casuale|variabili casuali]] permettendo da un lato di estrarne agevolmente alcuni parametri (come il [[valore atteso]] e la [[varianza]]) dall'altro di confrontare due diverse variabili casuali e vedere il loro comportamento in condizioni limite.

La funzione generatrice dei momenti <math>g(t)</math> di una variabile casuale <math>X</math> è definita come il [[valore atteso]] di <math>e^{tX}</math>, dove esso è finito (e ciò può accadere solo in un intorno dello 0, in cui vale 1 indipendentemente da <math>X</math>). Infatti tale valore atteso potrebbe essere infinito e in tal caso si dice semplicemente che <math>X</math> non possiede funzione generatrice dei momenti.

==Descrizione==
Nel caso di [[variabile casuale discreta|variabili casuali discrete]] si ottiene:

:<math>g(t) = \mathrm{E}[e^{tX}] = \sum_{i=1}^{n} p_{i} e^{tX_{i}},</math>

mentre per la [[variabile casuale continua|variabili casuali continue]]:

:<math>g(t) = \mathrm{E}[e^{tX}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f_{X}(x)dx,</math>

dove <math>p_{i},</math> con <math> i=1,\ldots,n,</math> e <math>f_{X}(x)</math> denotano le [[funzione di probabilità|funzioni di massa]] ([[funzione di densità di probabilità|densità]] nel caso continuo) della variabile casuale in questione. 

Dalla funzione generatrice dei momenti è possibile ricavare i [[momento (statistica)|momenti semplici]] di ordine <math>k</math> centrati in zero derivando <math>k</math> volte <math>g(t)</math> con <math>t=0.</math> Ossia:

:<math>\mu_{1} = \frac{dg}{dt}|_{t=0}=g'(0);</math>
:<math>\mu_{2} = \frac{d^{2}g}{dt^{2}}|_{t=0}=g''(0);</math>
:<math>\qquad\vdots</math>

dalla seconda espressione sopra si può ad esempio ricavare la [[varianza]].

== Teoremi ==
Se <math>X_1, X_2, \ldots, X_n,</math> sono [[variabile casuale|variabili aleatorie]] [[indipendenza stocastica|indipendenti]] e <math>X</math> la loro somma:
:<math>\ X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n,</math>
allora la funzione generatrice dei momenti di <math>X</math> è il prodotto delle funzioni generatrici dei momenti delle singole <math>X_i</math>:

:<math>g(t;X) = \prod_{i=1}^{n}g(t;X_{i}).</math>

Un secondo teorema importante è il seguente: se due variabili casuali su uno stesso spazio di probabilità hanno stessa funzione generatrice dei momenti, allora le due variabili casuali hanno la stessa distribuzione.

==Bibliografia==
* Giorgio Dall'Aglio, ''Calcolo delle probabilità'', Zanichelli, Bologna, 2003

== Voci correlate ==
* [[Momento (statistica)]]
* [[Variabile casuale]]
* [[Valore atteso]]
* [[Funzione caratteristica (teoria della probabilità)]]

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{Probabilità}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Teoria della probabilità]]