View source for Interazione elettromagnetica

[[File:CoulombsLaw.svg|thumb|upright=1.2|Rappresentazione schematica della [[legge di Coulomb]].]]
L{{'}}'''interazione elettromagnetica''' è l'[[interazione]] tra oggetti che possiedono [[carica elettrica]], una delle quattro [[interazioni fondamentali]] note in [[fisica]]. È responsabile del [[campo elettromagnetico]], che rappresenta l'interazione in ogni punto dello [[spazio (fisica)|spazio]] e si propaga sotto forma di [[radiazione elettromagnetica|onda elettromagnetica]] alla [[velocità della luce]].

L'''elettromagnetismo'' è la branca della [[fisica classica]] che studia l'interazione elettromagnetica e costituisce una teoria fondamentale che ha permesso di spiegare fenomeni naturali come l'[[elettricità]], il [[magnetismo]] e la [[luce]]; è il primo esempio di unificazione di due diverse [[forza (fisica)|forze]], quella [[campo elettrico|elettrica]] e quella [[campo magnetico|magnetica]]. La forza elettromagnetica ammette come caso particolare i fenomeni [[elettrostatica|elettrostatici]] (ad es. l'[[elettricità]]) e i fenomeni [[magnetostatica|magnetostatici]] (ad es. il [[magnetismo]]) e ad essa si possono ricondurre molti altri fenomeni fisici macroscopici quali ad esempio l'[[attrito]], lo spostamento di un corpo a mezzo di una forza di contatto, ecc. L'[[elettrodinamica classica]] è la teoria dei campi elettromagnetici generati dalle [[corrente elettrica|correnti elettriche]], includendo i principi della [[relatività ristretta]]. L'[[elettrodinamica quantistica]] è la [[teoria quantistica]] del campo elettromagnetico, descritta nell'ambito del [[Modello standard]].

Dalla teoria elettromagnetica si originano importanti branche teorico-applicative riguardanti le correnti elettriche, attraverso la [[teoria dei circuiti]], l'[[elettrotecnica]] e l'[[elettronica]].

== Storia ==
[[File:Faraday Cochran Pickersgill.jpg|thumb|upright=0.7|[[Michael Faraday]]]]
La teoria dell'elettromagnetismo è stata sviluppata a partire dal [[XIX secolo]] e nasce dall'osservazione di una correlazione tra i fenomeni dell'[[elettricità]] e del [[magnetismo]], che prima di allora erano stati scoperti e trattati separatamente.

L'elettricità è stata scoperta in seguito all'evidenza sperimentale dell'attrazione o la repulsione tra corpi dotati di [[carica elettrica]], corrispondente a due stati di [[elettrizzazione]] della materia, detti positivo e negativo: corpi elettrizzati entrambi positivamente o entrambi negativamente si respingono, mentre corpi elettrizzati in modo opposto si attraggono.[[File:Coulomb.jpg|thumb|upright=0.7|left|[[Charles Augustin de Coulomb]]]]A partire da questo fatto, nella seconda metà del diciottesimo secolo [[Charles Augustin de Coulomb]] formulò la [[legge di Coulomb]], che quantifica la forza elettrica attrattiva o repulsiva che due corpi puntiformi carichi elettricamente si scambiano a distanza. A partire da tale legge è possibile affermare che un corpo carico elettricamente produce nello spazio circostante un [[campo elettrico]] tale per cui, se si introduce una carica elettrica, questa risente l'effetto di una [[forza]], detta [[forza di Coulomb]], direttamente proporzionale al prodotto delle due cariche e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.

Parallelamente, l'esistenza del magnetismo naturale nella materia era noto già agli antichi [[Grecia|greci]] nel [[V secolo a.C.|V]] - [[VI secolo a.C.]], anche se probabilmente era già stato scoperto nell'antica [[Cina]] dove si dice fosse già in uso un rudimentale prototipo di [[bussola]] magnetica. Gli antichi avevano scoperto la capacità di alcuni minerali, come la [[magnetite]], di attrarre la limatura di [[ferro]] o piccoli oggetti ferrosi. Tra i più importanti studi [[Medioevo|medievali]] sull'argomento vi è l'epistola ''De Magnete'' di [[Pietro Peregrino di Maricourt]], del [[1296]], che introduce il concetto e la terminologia dei due poli, Nord e Sud, della [[calamita]], e propone l'esperimento della calamita spezzata. Nel [[1600]] apparve il ''De magnete'' di [[William Gilbert]], che rimase a lungo il testo di riferimento sul tema del magnetismo, anche se i primi studi quantitativi sui fenomeni magnetostatici si possono far risalire alla fine del [[XVIII secolo|Settecento]] - inizio dell'[[XIX secolo|Ottocento]] ad opera dei [[Francia|francesi]] [[Jean-Baptiste Biot|Biot]] e [[Félix Savart|Savart]] e, successivamente, di [[André-Marie Ampère|Ampère]], sempre in Francia.

Una prima correlazione tra elettricità e magnetismo fu ipotizzata dal fisico [[Danimarca|danese]] [[Hans Christian Ørsted]], che eseguendo un esperimento già effettuato diciotto anni prima da [[Gian Domenico Romagnosi]]<ref>{{Cita pubblicazione |cognome=Stringari |nome=Sandro |anno=2001 |mese=marzo |titolo=Romagnosi fisico |rivista=Unitn |numero=30 |url=https://www.unitn.it/unitn/numero30/fisico.html |accesso=28 novembre 2008 |urlmorto=sì |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20081205011407/http://www.unitn.it/unitn/numero30/fisico.html |dataarchivio=5 dicembre 2008 }}</ref>, noto come [[esperimento di Ørsted]], osservò che un filo percorso da [[corrente elettrica]] generava attorno a sé un [[campo magnetico]]. In seguito, il chimico [[Regno Unito|britannico]] [[Michael Faraday]] condusse una simile esperienza, ribattezzata [[esperimento di Faraday]], per mezzo della quale dimostrò che un conduttore percorso da corrente immerso in un campo magnetico è soggetto ad una forza. La formulazione matematica della forza esercitata da un campo magnetico sulla corrente elettrica è infine dovuta a [[André-Marie Ampère]], che tramite l'[[esperimento di Ampère]] concluse che tra due fili di lunghezza <math>l</math> e distanza <math>d</math>, percorsi rispettivamente da una corrente di intensità <math>i_1</math> e <math>i_2</math>, si esercita una forza il cui modulo è in [[unità CGS]]:

:<math>F = \; \frac{i_1 \cdot i_2 \cdot l}{d}</math>

La forza fra i due fili è attrattiva se le correnti scorrono nello stesso verso, repulsiva se scorrono in versi opposti. Fu chiaro allora che l'unica sorgente del campo magnetostatico sono cariche in moto, ovvero una [[corrente elettrica]].

Infine [[James Clerk Maxwell]], unificando in modo organico i due fenomeni, formulò le [[Equazioni di Maxwell|omonime equazioni]], che descrivono i fenomeni magnetostatici, elettrostatici, magnetodinamici ed elettrodinamici classici.

== Elettromagnetismo classico ==
Il [[campo elettromagnetico]] è un [[campo tensoriale]] dato dalla combinazione del [[campo elettrico]] e del [[campo magnetico]] ed è responsabile dell'interazione elettromagnetica; classicamente è descritto dalle equazioni di Maxwell e dalla [[forza di Lorentz]]. È generato nello spazio dalla presenza di [[Carica elettrica|cariche elettriche]] {{non chiaro|e può manifestarsi anche in assenza di esse, trattandosi di un'entità fisica che può essere definita indipendentemente dalle sorgenti che l'hanno generata.}}
[[File:E FieldOnePointCharge.svg|thumb|[[Linea di forza|Linee di forza]] del campo elettrico generato da una carica positiva.]]

=== Il campo elettrico ===
{{vedi anche|Campo elettrico|Elettrostatica}}
Il campo elettrostatico è un [[campo di forze]] [[Campo vettoriale conservativo|conservativo]] generato nello spazio dalla presenza di cariche elettriche stazionarie. Il vettore campo elettrico <math>\mathbf E</math> in un punto è definito come il rapporto tra la forza elettrica generata dal campo su un oggetto carico e la carica dell'oggetto stesso:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 11|mencuccini}}.</ref><ref name="hyperphysics.phy-astr.gsu.edu">[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elefie.html Electric field in "Electricity and Magnetism", R Nave].</ref>

:<math>\mathbf E = \lim_{q_{0} \to 0}\frac{\mathbf F}{q_0}</math>

La [[legge di Coulomb]] afferma che una [[carica puntiforme]] <math>Q</math> posta in <math>\mathbf r'</math>, genera un campo elettrico, in un punto <math>\mathbf r</math>, definito dalla seguente espressione:

:<math>\mathbf E(\mathbf r) = \frac {Q}{4 \pi \varepsilon} \frac {\mathbf r - \mathbf r'}{\left \| \mathbf r - \mathbf r' \right \|^3}</math>

dove <math>\varepsilon</math> è la [[costante dielettrica]] caratteristica del materiale in cui si propaga il campo.

Il campo elettrico è descritto anche dal [[potenziale elettrico]] (V), definito come il valore dell'[[energia potenziale|energia potenziale (U)]] di una carica elettrica posta in un punto dello spazio divisa per la carica stessa. L'energia potenziale della carica è quindi l'energia che la carica possiede a causa della sua posizione all'interno del campo elettrico. Il [[potenziale elettrico]] è definito dalla seguente formula:

:<math>\operatorname V=\frac{U}{q}</math>

Il potenziale è dunque una quantità scalare, e l'unità di misura del potenziale elettrico è il [[volt]]. Tra due punti A e B di una regione di spazio sede di un campo elettrico c'è una differenza di potenziale di 1 V se la forza elettrica compie il lavoro di 1 J per portare una carica di 1 C dal punto A al punto B.

Essendo il campo elettrico conservativo, è sempre possibile definire una funzione scalare <math>V</math>, Il [[potenziale elettrico]], il cui gradiente, cambiato di segno, coincide con il campo:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 41|mencuccini}}.</ref>

:<math>\mathbf E_0 = - \operatorname{grad}V_0 = - \nabla V_0</math>

[[File:Magnet0873.jpg|thumb|[[Linea di forza|Linee di forza]] del campo magnetico generato da un [[magnete]].]]

=== Il campo magnetico ===
{{vedi anche|Campo magnetico|Magnetostatica}}
Il campo magnetico è un campo vettoriale non conservativo generato da cariche in moto. Il campo magnetico agisce su oggetti carichi in moto attraverso una forza, detta [[forza di Lorentz]], data da:<ref>{{Cita|Jackson|Pag. 3|Jackson}}.</ref>

:<math>\mathbf{F} = q \mathbf{v} \times \mathbf{B}</math>

dove <math>\times</math> indica il [[prodotto vettoriale]], <math>q</math> è la carica elettrica dell'oggetto e <math>\mathbf{v}</math> è la [[velocità]] della carica.

Il campo magnetico non compie [[Lavoro (fisica)|lavoro]], come conseguenza dell'espressione della forza di Lorentz, che è sempre perpendicolare alla direzione della velocità della carica. Inoltre, è descritto da un [[potenziale vettore|potenziale vettoriale]] <math>\mathbf A</math> definito formalmente dalla relazione:

:<math>\mathbf B = \mathbf\nabla \times \mathbf A</math>

ovvero <math>\mathbf B</math> è il [[rotore (fisica)|rotore]] di <math>\mathbf A</math>.

Poiché la divergenza di un rotore è nulla, <math>\mathbf B</math> deve avere [[divergenza]] nulla:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 257|mencuccini}}.</ref>

:<math>\nabla \cdot \mathbf B = 0</math>

Il potenziale vettore di un campo è definito a meno di un [[gradiente]] di una funzione poiché il [[Rotore (fisica)#Rotore del gradiente|rotore del gradiente]] è sempre nullo.

=== Equazioni di Maxwell ===
{{vedi anche|Equazioni di Maxwell}}
Le equazioni di Maxwell sono un sistema di quattro [[equazioni differenziali alle derivate parziali]] lineari, che governano l'evoluzione spaziale e temporale del [[campo elettromagnetico]]. Si tratta di equazioni che, sintetizzando la [[legge di Gauss]], la [[legge di Faraday]] e la [[legge di Ampère]], unificano il concetto di [[campo elettrico]] e di [[campo magnetico]] all'interno del più ampio concetto di campo elettromagnetico.

Nel caso più generale, in cui i campi dipendono dalle coordinate spaziali e dal [[tempo]], la forma differenziale delle equazioni di Maxwell è:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 458|Mencuccini2010}}.</ref>

:<math>\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>

:<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \qquad \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}\ </math>

dove <math>\mathbf D</math> ed <math>\mathbf H</math> sono rispettivamente il campo elettrico ed il campo magnetico in un materiale, <math>\rho</math> è la densità di [[carica elettrica]] e <math>\mathbf J</math> la [[densità di corrente elettrica]].

Le equazioni di Maxwell, insieme alla [[forza di Lorentz]], descrivono completamente l'interazione elettromagnetica classica, ovvero come una carica in movimento interagisce con un'altra carica in movimento.
[[File:Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light And.Linearly.Polarized.Light.Comparison.svg|thumb|[[Onda elettromagnetica]] [[Polarizzazione della radiazione elettromagnetica|polarizzata]] circolarmente e linearmente. I vettori associati alle linee rosse rappresentano il campo elettrico.]]

== Il campo elettromagnetico ==
{{vedi anche|Campo elettromagnetico|Elettrodinamica classica}}
L'[[elettrodinamica classica]] studia il campo elettromagnetico tenendo conto dei principi della [[teoria della relatività]], che nella teoria classica dell'elettromagnetismo vengono trascurati. Il campo, nel caso più generale, è generato da una distribuzione di [[carica elettrica]] e [[corrente elettrica]] variabili nel tempo.

Gli effetti generati dal comportamento dinamico di cariche e [[corrente elettrica|correnti]] furono studiati da [[Pierre Simon Laplace]], [[Michael Faraday]], [[Heinrich Lenz]] e molti altri già dagli inizi dell'[[XIX secolo|ottocento]], tuttavia uno studio coerente e logicamente completo dei fenomeni elettromagnetici può essere effettuato solamente a partire dalla teoria della relatività. L'elettrodinamica classica utilizza il formalismo dei [[tensore|tensori]] e dei [[quadrivettore|quadrivettori]] per scrivere le [[equazioni di Maxwell]] in forma covariante per le [[trasformazioni di Lorentz]], introducendo un [[quadripotenziale]] che estende i potenziali scalare e vettore del caso stazionario: in questo modo cariche e correnti elettriche vengono descritte dal quadrivettore densità di corrente elettrica <math> j^\mu</math> dove la parte temporale del quadrivettore è data dalla densità di carica, moltiplicata per la [[velocità della luce]] ''c'', e la parte spaziale dalla densità di corrente elettrica.

Il quadripotenziale <math>A^{\mu}</math> che descrive il campo elettromagnetico è costituito da una parte spaziale data dal [[potenziale vettore]] <math>\mathbf A</math>, relativo al [[campo magnetico]], e una parte temporale data dal [[potenziale scalare]] <math>\phi</math> del [[campo elettrico]]:

:<math>A^ \mu =\left( \frac{\phi}{c}, \mathbf A \right)=\left( \frac{\phi}{c}, A_x, A_y, A_z  \right)</math>

A partire dal quadripotenziale si possono definire i campi nel seguente modo:

:<math>\mathbf E = - \mathbf \nabla \phi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t} \qquad \mathbf B = \mathbf \nabla \times \mathbf A</math>

Inserendo tali espressioni nelle equazioni di Maxwell, la [[legge di Faraday]] e la legge di Gauss magnetica si riducono ad identità, mentre le restanti due equazioni assumono la forma:

:<math>\nabla^2 \phi + \frac{\partial}{\partial t} \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A \right ) = - \frac{\rho}{\varepsilon_0} \qquad \left ( \nabla^2 \mathbf A - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} \right ) - \mathbf \nabla \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t} \right ) = - \mu_0 \mathbf J</math>

Tali espressioni sono equivalenti alle equazioni di Maxwell.

=== Onde elettromagnetiche ===
{{vedi anche|Radiazione elettromagnetica}}
La radiazione elettromagnetica è un fenomeno [[onde (fisica)|ondulatorio]] che descrive la propagazione nello spazio del campo elettromagnetico. Si tratta della propagazione contemporanea del [[campo elettrico]] e del [[campo magnetico]], oscillanti in piani tra loro ortogonali. La radiazione elettromagnetica si propaga alla [[velocità della luce]] in direzione ortogonale ai due campi, ed è descritta dall'[[equazione delle onde]]:

:<math>\nabla^2 f = \frac{1}{{c_0}^2} \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} </math>

che per i due campi risulta essere:

:<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \qquad \nabla^2 \mathbf{B} = \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math>

dove <math>c_0</math> è la velocità della luce. Una riscrittura più compatta è data da:

:<math>\Box f = 0</math>

dove <math>\Box</math> è l'[[operatore di d'Alembert|operatore iperbolico di d'Alembert]]:

:<math>\Box = \nabla^2 - \frac{1}{{c_0}^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} - \frac{1}{{c_0}^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \ </math>

Tale equazione, che descrive la propagazione nello spazio del campo elettromagnetico, può essere ricavata dalle equazioni di Maxwell.

=== Teoria di gauge ===
{{vedi anche|Teoria di gauge|Gauge di Lorenz}}
All'interno delle equazioni di Maxwell, ogni grado di libertà in una data configurazione del campo elettromagnetico ha un proprio effetto misurabile sul moto di eventuali cariche di prova poste nelle vicinanze. Tuttavia, esse sono caratterizzate dal fatto che l'espressione dei campi rimane invariata se i potenziali subiscono la seguente trasformazione:

:<math>\mathbf A' = \mathbf A + \mathbf \nabla \lambda \qquad \phi' = \phi- \frac{\partial \lambda}{\partial t}</math>

La descrizione del campo per mezzo dei potenziali è pertanto caratterizzata dal fatto che le espressioni dei potenziali si possono modificare in modo da lasciare inalterata l'espressione dei campi che ne risulta. Una particolare scelta del potenziale scalare o del potenziale vettore è un ''potenziale di gauge'', ed una funzione scalare utilizzata per cambiare il gauge è detta ''funzione di gauge''.

In elettrodinamica solitamente si ricorre all'utilizzo del gauge di Lorenz, una scelta dei potenziali tale da soddisfare una determinata condizione, detta ''condizione di Lorenz'':

:<math>\mathbf \nabla \cdot \mathbf A' = - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \phi'}{\partial t}</math>

Tale condizione ha la proprietà di essere [[Covarianza di Lorentz|Lorentz invariante]] e di rispettare i gradi di libertà forniti dalle trasformazioni di gauge: se i potenziali soddisfano la condizione di Lorenz si dice che essi appartengono al gauge di Lorenz<ref>{{Cita|Jackson|Pag. 241|Jackson}}.</ref> La condizione di Lorenz è una proprietà imposta al potenziale elettromagnetico utilizzata nel calcolo di campi elettromagnetici variabili nel tempo attraverso i potenziali ritardati.<ref name=mcdonald>{{Cita pubblicazione|wkautore=Kirk T. McDonald |nome=Kirk T. |cognome=McDonald|titolo=The relation between expressions for time-dependent electromagnetic fields given by Jefimenko and by Panofsky and Phillips |rivista=[[American Journal of Physics]] |volume=65 |numero=11 |pp=1074-1076 |anno=1997 |doi=10.1119/1.18723 |bibcode = 1997AmJPh..65.1074M }} and {{Cita web|titolo=pdf link|url=http://www.hep.princeton.edu/~mcdonald/papers/mcdonald_ajp_65_1176_97.pdf|accesso=1º giugno 2010|dataarchivio=20 luglio 2011|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20110720033013/http://www.hep.princeton.edu/~mcdonald/papers/mcdonald_ajp_65_1176_97.pdf|urlmorto=sì}}</ref>

La condizione di Lorenz impone che <math>\lambda</math> debba soddisfare l'equazione:

:<math>\nabla^2 \lambda - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \lambda }{\partial t^2}= - \mathbf \nabla \cdot \mathbf A - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \phi}{\partial t}</math>.

Le equazioni Maxwell nel gauge di Lorenz sono scritte come:

:<math>\nabla^2 \mathbf A' - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf A'}{\partial t^2} = \Box^2 \mathbf A' = - \mu_0 \mathbf J</math>
:<math>\nabla^2 \phi' - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \varphi'}{\partial t^2} = \Box^2 \phi' = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>

dove <math>\Box^2</math> è l'[[operatore di d'Alembert]].

=== Il tensore elettromagnetico ===
{{vedi anche|Tensore elettromagnetico}}
La descrizione covariante del campo elettromagnetico nel vuoto viene svolta nell'ambito del [[gauge di Lorenz]] poiché la condizione di Lorenz ha la proprietà di essere [[Covarianza di Lorentz|Lorentz invariante]] e di rispettare i gradi di libertà forniti dalle trasformazioni di gauge. A partire dal [[quadripotenziale]] è possibile scrivere un tensore doppio di campo elettromagnetico <math>F^{\mu \nu}</math>:

:<math> F^{\mu \nu} = \partial^ \mu A^\nu - \partial ^\nu A^\mu</math>

Il tensore elettromagnetico è un [[tensore antisimmetrico]] del second'ordine, [[covariante]] e la sua traccia è nulla:<ref>{{Cita libro|pagine=557|autore=Griffiths, David J.|titolo=Introduction to Electrodynamics|edizione=3rd |editore=Prentice Hall|anno=1998|isbn=0-13-805326-X}}</ref>

:<math>F^{\mu \nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}</math>

Attraverso questa notazione si possono sintetizzare a coppie le [[equazioni di Maxwell]]. Le due equazioni vettoriali non omogenee si riducono a:

:<math> \partial_\mu F^{\mu \nu} = \mu_0 \, j^\nu</math>

mentre le equazioni omogenee sono:

:<math>\partial_\mu G^{\mu \nu} = 0</math>

=== Sorgenti variabili nel tempo ===
{{vedi anche|Potenziali ritardati|Equazioni di Jefimenko}}
I potenziali ritardati descrivono i potenziali nel caso in cui distribuzione di carica e corrente presente, sorgente del campo, sia variabile nel tempo. Si tratta delle espressioni dei potenziali utilizzata quando non è possibile utilizzare l'approssimazione secondo cui la propagazione dell'interazione elettromagnetica sia istantanea. Ponendo di trovarsi nel vuoto, nel [[gauge di Lorenz]] i potenziali ritardati assumono la forma:<ref name=pot>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 506|mencuccini}}.</ref>

:<math> \phi (\mathbf x, t)= \frac {1}{4\pi \varepsilon_0} \int \frac {\rho (\mathbf x_0, t_r)} {|\mathbf x - \mathbf x_0|} d^3 x_0 \qquad \mathbf A (\mathbf x, t) =\frac {1}{4 \pi \varepsilon_0 c^2} \int \frac {\mathbf J (\mathbf x_0, t_r)} {|\mathbf x - \mathbf x_0| } d^3 x_0 </math>

dove <math>\rho</math> è la densità di carica, <math>\mathbf J</math> è la densità di corrente, <math> |\mathbf x - \mathbf x_0| </math> la distanza del punto di osservazione del campo dall'elemento di volume <math>dV</math> su cui si effettua l'integrazione e:

:<math>t_r=t- \frac {|\mathbf x - \mathbf x_0|}{c} </math>

è il tempo ritardato.

I potenziali ritardati sono la soluzione dell'[[equazione delle onde]] per i potenziali <math>\phi</math> e <math>\mathbf A</math>, e questo consente di scrivere l'equazione delle onde per i campi nel vuoto. La relativa soluzione al tempo ritardato fornisce l'espressione preliminare per i campi,<ref>{{Cita|Jackson|Pag. 246|Jackson}}.</ref> la cui scrittura esplicita è fornita dalle [[equazioni di Jefimenko]].<ref>{{Cita|Jackson|Pag. 247|Jackson}}.</ref>

=== Elettrodinamica quantistica ===
{{vedi anche|Elettrodinamica quantistica}}
L'elettrodinamica quantistica è una [[teoria quantistica dei campi|teoria quantistica]] del [[campo elettromagnetico]] che descrive i fenomeni che coinvolgono [[Fisica delle particelle|particelle]] [[carica elettrica|elettricamente cariche]] interagenti per mezzo della [[forza elettromagnetica]], ed è stata definita ''il gioiello della fisica'' per le sue predizioni estremamente accurate di quantità come il [[momento magnetico]] anomalo del [[muone]], e lo [[spostamento di Lamb|spostamento di Lamb-Retherford]] dei [[livello energetico|livelli energetici]] dell'[[idrogeno]].

Matematicamente l'elettrodinamica quantistica ha la struttura di una [[teoria di gauge]] [[abeliano|abeliana]] con un [[gruppo di gauge]] [[gruppo U(1)|U(1)]]: fisicamente questo significa che le particelle cariche interagiscono fra loro attraverso lo scambio di particelle a massa nulla dette [[fotone|fotoni]]. Considerando i potenziali come operatori di campo si ottiene la [[seconda quantizzazione|quantizzazione]] del campo elettromagnetico, e sostituendo <math>\frac 1 {c^2} = \varepsilon_0 \mu_0</math> nelle equazioni del gauge di Lorenz si ottiene:

:<math>\nabla^2 \mathbf A - \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} = - \mu_0 \mathbf J \qquad \nabla^2 \phi - \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>

Se si vuole descrivere l'interazione tra campi elettromagnetici con l'equazione di Dirac, le densità di carica e di corrente sono:<ref>[http://scienceworld.wolfram.com/physics/QuantumElectrodynamics.html Quantum Electrodynamics, Mathworld].</ref>

:<math>\mathbf{J}=-ec\psi^{\dagger}\boldsymbol{\alpha}\psi\,\quad \rho=-e\psi^{\dagger}\psi </math>

dove <math>\boldsymbol\alpha</math> sono le prime tre [[Gamma di Dirac|matrici di Dirac]]. Si possono così scrivere le equazioni di Maxwell come:

:<math>\nabla^2 \mathbf A - \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} = \mu_0 ec \psi^{\dagger} \boldsymbol{\alpha} \psi  \qquad \nabla^2 \phi - \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = \frac{1}{\varepsilon_0} e \psi^{\dagger} \psi</math>

Tale formulazione è alla base dell'elettrodinamica quantistica.

== Spettro elettromagnetico ==
L'insieme delle frequenze elettromagnetiche è detto [[spettro elettromagnetico]] che comprende al suo interno la [[luce visibile]].

== Unità elettriche nel sistema internazionale ==
{{vedi anche|Sistema internazionale di unità di misura}}
{| style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #f9f9f9; border: 1px #aaaaaa solid; border-collapse: collapse;"
|-
!Simbolo
!Nome della quantità
!Nome
!Unità
!Unità fondamentali
|-
| I
| [[Corrente elettrica|Corrente]]
| [[ampere]] ([[Sistema internazionale di unità di misura#Unità fondamentali|unità fondam. SI]])
| A
| A = W/V = C/s
|-
| q
| [[Carica elettrica]]
| [[coulomb]]
| C
| A·s
|-
| V
| [[Differenza di potenziale]]
| [[volt]]
| V
| J/C = kg·m<sup>2</sup>·s<sup>−3</sup>·A<sup>−1</sup>
|-
| R, Z, X
| [[Resistenza elettrica|Resistenza]], [[Impedenza]], [[Reattanza]]
| [[ohm]]
| Ω
| V/A = kg·m<sup>2</sup>·s<sup>−3</sup>·A<sup>−2</sup>
|-
| ρ
| [[Resistività elettrica|Resistività]]
| [[ohm]] [[metro]]
| Ω·m
| kg·m<sup>3</sup>·s<sup>−3</sup>·A<sup>−2</sup>
|-
| P
| [[Potenza elettrica]]
| [[watt]]
| W
| V·A = kg·m<sup>2</sup>·s<sup>−3</sup>
|-
| C
| [[Capacità elettrica]]
| [[farad]]
| F
| C/V = kg<sup>−1</sup>·m<sup>−2</sup>·A<sup>2</sup>·s<sup>4</sup>
|-
| Π<sub>E</sub>
| [[Elastanza elettrica]]
| reciproco del [[farad]]
| F<sup>−1</sup>
| V/C = kg·m<sup>2</sup>·A<sup>−2</sup>·s<sup>−4</sup>
|-
| ε
| [[Permittività elettrica]]
| [[farad]] su [[metro]]
| F/m
| kg<sup>−1</sup>·m<sup>−3</sup>·A<sup>2</sup>·s<sup>4</sup>
|-
| χ<sub>e</sub>
| [[Suscettività elettrica]]
| (adimensionale)
| -
| -
|-
| G, Y, B
| [[Conduttanza elettrica]], [[Ammettenza]], [[Suscettanza]]
| [[Siemens (unità di misura)|siemens]]
| S
| Ω<sup>−1</sup> = kg<sup>−1</sup>·m<sup>−2</sup>·s<sup>3</sup>·A<sup>2</sup>
|-
| σ
| [[Conduttività elettrica|Conduttività]]
| [[Siemens (unità di misura)|siemens]] su [[metro]]
| S/m
| kg<sup>−1</sup>·m<sup>−3</sup>·s<sup>3</sup>·A<sup>2</sup>
|-
| H
| [[Campo magnetico|Campo magnetico, Intensità di campo magnetico]]
| [[ampere]] su [[metro]]
| A/m
| A·m<sup>−1</sup>
|-
| Φ<sub>m</sub>
| [[Flusso magnetico]]
| [[weber (unità di misura)|weber]]
| Wb
| V·s = kg·m<sup>2</sup>·s<sup>−2</sup>·A<sup>−1</sup>
|-
| B
| [[Campo magnetico|Densità di flusso magnetico, induzione magnetica, forza del campo magnetico]]
| [[Tesla (unità di misura)|tesla]]
| T
| Wb/m<sup>2</sup> = kg·s<sup>−2</sup>·A<sup>−1</sup>
|-
| R
| [[Riluttanza]]
| [[ampere]]-giro su [[weber (unità di misura)|weber]]
| A/Wb
| kg<sup>−1</sup>·m<sup>−2</sup>·s<sup>2</sup>·A<sup>2</sup>
|-
| L
| [[Induttanza]]
| [[henry (unità di misura)|henry]]
| H
| Wb/A = V·s/A = kg·m<sup>2</sup>·s<sup>−2</sup>·A<sup>−2</sup>
|-
| μ
| [[Permeabilità magnetica|Permeabilità]]
| [[henry (unità di misura)|henry]] su [[metro]]
| H/m
| kg·m·s<sup>−2</sup>·A<sup>−2</sup>
|-
| χ<sub>m</sub>
| [[Suscettività magnetica]]
| (adimensionale)
| -
| -
|}

== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==
* {{cita libro | cognome= Mencuccini| nome= Corrado |coautori=[[Vittorio Silvestrini]] | titolo= Fisica II| editore= Liguori Editore | città= Napoli| anno=2010 |isbn= 978-88-207-1633-2|cid= mencuccini }}
* {{Cita libro|autore=[[Lev Davidovič Landau]]|coautori=[[Evgenij Mikhailovič Lifšic|Evgenij Lifšic]]|titolo=[[Corso di Fisica Teorica|Fisica teorica 2 - Teoria dei campi]]|data=1976|editore=Editori Riuniti Edizioni Mir|città=Roma|ISBN=88-359-5358-8|cid=Landau}}
* {{Cita libro |titolo=Classical Electrodynamics |url=https://archive.org/details/classicalelectro0000jack_e8g9 |autore=John D Jackson |edizione=3rd Edition |editore=Wiley |anno=1999 |isbn=0-471-30932-X |cid= Jackson |lingua=en }}
* {{en}} Evgenij Lifšic, Lev Davidovič Landau, Lev Petrovich Pitaevskii (1993): ''Electrodynamics of Continuous Media. Course of Theoretical Physics volume 8'', 2nd ed., Elsevier, ISBN 0-7506-2634-8
* {{en}} Joseph Edminister (1994): ''Schaum's Outline of Electromagnetics'', 2nd ed., McGraw-Hill, ISBN 0-07-021234-1, pp.&nbsp;256
* {{en}} David J. Griffiths (1998): ''Introduction to Electrodynamics'', 3rd ed., Prentice Hall, ISBN 0-13-805326-X, pp.&nbsp;576
* {{en}} D. A. Bromley (1998): ''Classical Electrodynamics'', Springer, ISBN 0-387-94799-X, pp.&nbsp;555

== Voci correlate ==
{{colonne}}
* [[Campo elettrico]]
* [[Campo elettromagnetico]]
* [[Campo magnetico]]
* [[Carica elettrica]]
* [[Corrente elettrica]]
* [[Elettrostatica]]
* [[Equazioni di Maxwell]]
* [[Forza di Lorentz]]
* [[Gauge di Lorenz]]
* [[Legge di Biot-Savart]]
* [[Legge di Faraday]]
* [[Modello standard (fisica)]]
* [[Onda (fisica)]]
* [[Potenziale di Liénard-Wiechert]]
* [[Potenziale elettrico]]
* [[Potenziale magnetico]]
* [[Potenziali ritardati]]
* [[Quadripotenziale]]
* [[Tensore elettromagnetico]]
* [[Teoria di gauge]]
* [[Trasformazione di Lorentz]]

{{colonne spezza}}

;Personaggi
* [[Charles Augustin de Coulomb]]
* [[Alessandro Volta]]
* [[Luigi Galvani]]
* [[Michael Faraday]]
* [[Carlo Matteucci]]
* [[Jean-Baptiste Biot]]
* [[Félix Savart]]
* [[Franz Ernst Neumann]]
* [[Heinrich Lenz]]
* [[Georg Ohm]]
* [[Galileo Ferraris]]
* [[André-Marie Ampère]]
* [[Joseph Henry]]
* [[Gustav Robert Kirchhoff]]
* [[Hans Christian Ørsted]]
* [[Hendrik Lorentz]]
* [[Heinrich Rudolf Hertz]]
* [[James Clerk Maxwell]]
* [[Eugenio Beltrami]]
* [[Augusto Righi (fisico)|Augusto Righi]]
* [[Benjamin Franklin]]
* [[Guglielmo Marconi]]
* [[Nikola Tesla]]

{{colonne fine}}

== Altri progetti ==
{{interprogetto|etichetta=elettromagnetismo|wikt=elettromagnetismo|commons=Category:Electromagnetism|preposizione=sull'}}

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* {{cita web|http://www.italtec.it/docpdf/emc-00.pdf|Direttiva 89/336/CEE sui disturbi di radiofrequenza}}
* {{en}} [[James Clerk Maxwell]], [https://www.archive.org/details/treatiseonelectr01maxwrich A treatise on electricity and magnetism (t.1)] (Clarendon Press, Oxford, 1881)
* {{en}} [[James Clerk Maxwell]], [https://www.archive.org/details/treatiseonelectr02maxwrich A treatise on electricity and magnetism (t.2)] (Clarendon Press, Oxford, 1881)
* {{en}} [[Oliver Heaviside|O. Heaviside]], [https://www.archive.org/details/electromagnetict01heavrich Electromagnetic Theory (t. 1)] (The Electrician printing company, London, 1894-1912)
* {{en}} [[Oliver Heaviside|O. Heaviside]], [https://www.archive.org/details/electromagnetict02heavrich Electromagnetic Theory (t. 2)] (The Electrician printing company, London, 1894-1912)
* {{en}} [[Oliver Heaviside|O. Heaviside]], [https://www.archive.org/details/electromagnetict03heavuoft Electromagnetic Theory (t. 3)] (The Electrician printing company, London, 1894-1912)
* {{en}} [[Harry Bateman]] [https://www.archive.org/details/mathanaselectric00baterich The mathematical analysis of electrical and optical wave-motion on the basis of Maxwell's equations] (Cambridge University Press, 1915)
* {{en}} Leigh Page [https://www.archive.org/details/introductiontoel030885mbp An introduction to electrodynamics from the staindpoint of the electron theory] (Ginn & co., Boston, 1922)
* {{en}} Max Mason e Warren Weaver [https://www.archive.org/details/electromagneticf030976mbp The Electromagnetic Field] (University of Chicago Press, 1929)
* {{en}} J. A. Stratton [https://www.archive.org/details/electromagnetict031016mbp Electromagnetic Theory] (McGrawHill, New York, 1941)
* {{lingue|en|it}} [http://www.radiondistics.com Radionistics.com] Fisica delle onde radio ed ingegneria radioelettronica.
* {{lingue|en|it}} [https://www.youtube.com/watch?v=nqMnDfNWlLM La Legge di Lenz all'opera].

{{Controllo di autorità}}
{{Portale|elettromagnetismo|fisica}}

[[Categoria:Elettromagnetismo]]
[[Categoria:Forza]]
[[Categoria:Interazioni fondamentali]]