View source for Scarto quadratico medio

[[File:Standard deviation illustration.gif|frame|Una serie di dati con una media di 50 (in blu) e uno scarto quadratico medio (σ) di 20.]]

Lo '''scarto quadratico medio''', più nota come '''deviazione standard''' (o '''scarto tipo''', o '''scostamento quadratico medio'''), è un [[indice di dispersione]] [[statistica]], vale a dire un [[Indicatore statistico|indicatore]] usato per fornire una stima sintetica della variabilità di una [[Popolazione (statistica)|popolazione]] di dati o di una [[variabile casuale]].

È uno dei modi per esprimere la dispersione dei dati intorno a un [[indice di posizione]], quale può essere, ad esempio, la [[media aritmetica]] o una sua stima. Ha pertanto la stessa [[unità di misura]] dei valori osservati (al contrario della [[varianza]] che ha come unità di misura il quadrato dell'unità di misura dei valori di riferimento). In [[statistica]], la [[precisione]] si può esprimere come lo scarto quadratico medio.

Il termine "''standard deviation''" è stato introdotto in statistica nel 1894 da [[Karl Pearson]]<ref>[[Karl Pearson]], ''On the dissection of asymmetrical frequency curves'', 1894</ref>, assieme alla lettera greca <math>\sigma</math> ([[Sigma (lettera greca)|sigma]]) che lo rappresenta. Il termine italiano "deviazione standard" ne è la traduzione più usata nel linguaggio comune; il termine dell'[[Ente italiano di normazione]] è tuttavia "scarto tipo".<ref>[[Ente nazionale italiano di unificazione|UNI]], Norma italiana [[UNI ISO 3534-1]]:2000, ''Statistica - Vocabolario e simboli, Probabilità e termini statistici generali'', Milano: UNI, 2000, definizione 1.23.</ref>

Lo scarto quadratico medio <math>\sigma</math> è la radice quadrata della [[varianza]]<ref>{{cita web|url=http://www3.istat.it/servizi/studenti/binariodie/CorsoExcel/Glossario.htm|titolo=Glossario Istat|urlmorto=sì|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20111231130402/http://www3.istat.it/servizi/studenti/binariodie/CorsoExcel/Glossario.htm|dataarchivio=31 dicembre 2011}}</ref>, la quale viene coerentemente rappresentata con il quadrato di sigma, <math>\sigma^2</math>.

== Statistica descrittiva ==
In [[statistica descrittiva]] lo scarto quadratico medio di un [[Carattere (statistica)|carattere]] <math>X</math> rilevato su una [[Popolazione (statistica)|popolazione]] di <math>N</math> unità statistiche si definisce nel seguente modo:<ref>{{Cita|Sheldon|p. 96.}}</ref>

:<math>\sigma_X = \sqrt{\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{N} (x_i-\mu_X)^2},</math>

dove <math>\mu_X = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i</math> è la [[Media (statistica)|media aritmetica]] di <math>X</math>. Ossia lo scarto quadratico medio è la radice quadrata della [[varianza]].

A partire dallo scarto quadratico medio si definisce anche il [[coefficiente di variazione]]<ref>[[Ente nazionale italiano di unificazione|UNI]], Norma italiana [[UNI ISO 3534-1]]:2000, ''Statistica - Vocabolario e simboli, Probabilità e termini statistici generali'', Milano: UNI, 2000, definizione 1.24 e 2.35.</ref> o la ''deviazione standard relativa'' come il rapporto tra lo scarto tipo <math>\sigma_X</math> e il [[valore assoluto]] della media aritmetica della variabile in esame sempreché quella media sia non nulla:

:<math>\sigma^*_X=\frac{\sigma_X}{|\mu_X|}.</math>

Questo indice relativo (che viene spesso espresso in termini percentuali<ref>Domenico Piccolo, ''Statistica'', Il Mulino, Bologna, 1998, p. 123.</ref>) consente di effettuare confronti tra dispersioni di dati di tipo diverso, indipendentemente dalle loro quantità assolute.

=== Formulazioni equivalenti ===
Lo scarto quadratico medio può essere espresso in una forma equivalente, ricalcolando come segue la [[sommatoria]] dei quadrati degli scarti:

:<math>\begin{align}
\sum_{i=1}^N (x_i - \mu_X)^2 &= \sum_{i=1}^N (x_i^2 - 2 x_i\mu_X + \mu_X^2)= \sum_{i=1}^N x_i^2 - 2\mu_X\sum_{i=1}^N x_i + N\mu_X^2 \\
&= \sum_{i=1}^N x_i^2 - 2\mu_X(N\mu_X) + N\mu_X^2= \sum_{i=1}^N x_i^2 - 2N\mu_X^2 + N\mu_X^2 = \sum_{i=1}^N x_i^2 - N\mu_X^2.
\end{align}</math>

Applicando questo risultato alla formula originale per lo scarto quadratico medio, si ottiene:

:<math>\sigma_X = \sqrt{\frac{1}{N} \left(\sum_{i=1}^N x_i^2 - N\mu_X^2\right)} = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i^2 - \mu_X^2}.</math>

Nelle applicazioni informatiche, è a volte conveniente modificare la formula precedente:

:<math>\sigma_X = \sqrt{\frac{1}{N} \left(\sum_{i=1}^N x_i^2 - N\mu_X^2\right)} =
\frac{1}{N} \sqrt{ N \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - \left(N\mu_X\right)^2 } =
\frac{1}{N} \sqrt{N \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - \left(\sum_{i=1}^{N} x_i \right)^2 }</math>

che consente, con sole tre variabili <math>\left(N, \sum x_i, \sum x_i^2\right)</math>, di calcolare lo scarto quadratico medio, oltre che la [[media (statistica)|media]], di una successione di numeri di lunghezza <math>N</math> senza dover ricorrere ad una memorizzazione degli stessi.

== Statistica inferenziale ==
Nell'ambito della [[statistica inferenziale]] (dove è noto solo un campione, di numerosità <math>n</math>, dell'intera popolazione), soprattutto nel contesto della [[teoria della stima]], uno stimatore per lo scarto quadratico medio di un [[Carattere (statistica)|carattere]] <math>X</math> è dato dallo scarto quadratico medio campionario:

:<math>s_X = \sqrt{\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2},</math>

dove <math>\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i</math> è la [[media campionaria]] di <math>X</math> (ossia la media aritmetica del carattere calcolata sul campione considerato).

Valgono i limiti <math>\lim_{n \to N} \bar{x} = \mu_X</math> e <math>\lim_{n \to N} s_X = \sigma_X</math>, dove <math>N</math> indica la numerosità della popolazione di riferimento, quindi <math>N</math> è un intero positivo oppure <math>N=+\infty</math> a seconda dei casi.

Poiché il precedente stimatore <math>s_X</math> è [[Bias (statistica)|distorto]], per ottenerne uno non distorto si rimpiazza il denominatore <math>n</math> con <math>n-1</math> ottenendo:

:<math>\bar{s}_X = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}.</math>

Sostanzialmente, poiché non è nota la media dell'intera popolazione <math>\mu_X</math>, ma solo una sua stima (la media del campione <math>\bar{x}</math>), bisogna utilizzare <math>n-1</math> per ottenere uno [[stimatore corretto]] <math>\bar{s}_X^2</math> della [[varianza]] incognita <math>\sigma_X^2</math> di <math>X</math> sull'intera popolazione a partire dai dati del campione. La sua radice quadrata diviene lo scarto quadratico medio campionario "corretto".

Questa correzione al denominatore fa sì che <math>\bar{s}_X</math> sia maggiore rispetto a <math>s_X</math>, correggendo così la tendenza di <math>s_X</math> a sottostimare le incertezze, soprattutto nel caso in cui si lavori con pochi dati (<math>n</math> "piccolo"; nelle applicazioni pratiche, si considera "piccolo" un campione formato da meno di 30 elementi).

Osserviamo il caso limite di <math>n=1</math>, cioè quando si ha un campione di un solo elemento. Si ha <math>s_X=0</math>, che non è molto ragionevole nell'ambito della statistica inferenziale. Invece <math>\bar{s}_X=0/0</math> non è definito, rispecchiando così la totale ignoranza inerente all'incertezza su una singola misura. In questo senso, si afferma che <math>\bar{s}_X</math> non dice nulla sul singolo caso.

La differenza tra <math>s_X</math> e <math>\bar{s}_X</math> per campioni molto estesi diventa numericamente insignificante.

== Probabilità ==
Sia <math>X</math> una [[variabile aleatoria]], lo scarto quadratico medio è definito come la radice quadrata della [[varianza]] di <math>X</math>

:<math>\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}.</math>

Formalmente lo scarto quadratico medio di una variabile aleatoria può essere calcolato a partire dalla [[funzione generatrice dei momenti]], in particolare è la radice quadrata della differenza tra il momento secondo ed il momento primo elevato al quadrato, cioè

:<math> \sigma_X =\sqrt{ \mathbb{E}[x^2] - (\mathbb{E}[x])^2 },</math>

dove <math>\mathbb{E}[X]</math> è il [[valore atteso]] di <math>X</math>.

== Applicazioni ==
In [[fisica]], lo scarto quadratico medio è un ottimo indice dell'[[errore casuale]] della misurazione di una grandezza fisica.

In ingegneria, è uno dei parametri da considerare per valutare la [[capacità di un processo]] produttivo, o più in generale, l'affidabilità di una campagna di test per determinare il [[tasso di guasto]] di un dato componente.

In ambito [[matematica finanziaria|finanziario]], viene usato per indicare la variabilità di un'attività finanziaria e dei suoi payoff ([[Rendimento (economia)|rendimenti]]). Esso fornisce quindi, implicitamente, una misura della [[volatilità (economia)|volatilità]] dell'attività, quindi del suo [[rischio]].

In ambito sportivo è utilizzato per valutare la prestazione di un giocatore di [[bowling]] in riferimento ad un certo numero di partite. Il valore trovato non incide sul punteggio ma sintetizza le capacità e i miglioramenti del giocatore.<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Joan L.|cognome=Martin|data=1960-03|titolo=Notes : Bowling Norms for College Men and Women|rivista=Research Quarterly. American Association for Health, Physical Education and Recreation|volume=31|numero=1|pp=113-116|lingua=en|accesso=2024-06-12|doi=10.1080/10671188.1960.10613082|url=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/10671188.1960.10613082}}</ref>

== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==
* {{cita libro | cognome= Sheldon | nome= M. Ross | titolo= Introduzione alla statistica | editore= Maggioli Editore | città= | ed= 2 | anno= 2014 | id= ISBN 88-916-0267-1 | cid= Sheldon | url= https://books.google.it/books?id=Fnv1AwAAQBAJ}}
* {{cita libro | cognome= Wannacott| nome= Thomas H. | titolo= Introduzione alla statistica | editore= Franco Angeli | città= | ed= 19 | anno= 2009 | id= ISBN 978-88-568-1260-2 | cid= | url= }}

== Voci correlate ==
* [[Root sum squared]]
* [[Coefficiente di variazione]]
* [[Scarto interquartile]]
* [[Varianza]]
* [[Stimatore corretto#Esempio: stimatore della varianza]]
* [[Precisione]]
* [[Median absolute deviation]]
*[[Regola 68-95-99,7]]

== Altri progetti ==
{{interprogetto|preposizione=sulla|wikt=deviazione standard}}

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* {{FOLDOC|standard deviation|standard deviation}}
* {{cita web|http://goldbook.iupac.org/D01650.html|Scarto quadratico medio|lingua=en}}

{{Statistica}}
{{Concetti base di metrologia, statistica e metodologia della ricerca}}
{{Controllo di autorità}}
{{portale|matematica|metrologia|statistica}}

[[Categoria:Indici di dispersione]]