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2025-08-05T19:53:32Z

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In [[fisica]], in primo luogo in [[cinematica]], l{{'}}'''accelerazione''' è una [[grandezza vettoriale]] che rappresenta la variazione della [[velocità]] nell'unità di [[tempo]]. In termini differenziali, è pari alla [[derivata]] rispetto al [[tempo]] del vettore velocità.<ref>{{cita web |url=http://goldbook.iupac.org/A00051.html|titolo=IUPAC Gold Book, "acceleration, a"|lingua=en}}</ref> Nel [[Sistema internazionale di unità di misura|SI]] l'[[unità di misura]] del modulo dell'accelerazione è il [[Metro|m]]/[[Secondo|s]]², ovvero [[metro al secondo quadrato]]. Le derivate temporali della velocità di ordine superiore al primo vengono studiate nel [[moto vario]].

Quando non specificato, per "accelerazione" si intende l{{'}}''accelerazione traslazionale'', sottintendendo che lo spostamento a cui si fa riferimento è una [[Traslazione (geometria)|traslazione]] nello spazio. Il termine, "accelerazione", infatti, può essere utilizzato con un significato più generale per indicare la variazione di una [[velocità]] in funzione del tempo. Ad esempio, nella descrizione del [[Moto (fisica)|moto]] [[Rotazione (matematica)|rotatorio]], per definire l{{'}}''accelerazione di rotazione'' si usano l'[[accelerazione angolare]] e l'[[accelerazione areolare]].

== Definizione ==
[[File:Accelerazione istantanea e velocità.png|upright=1.4|thumb|In alto: rappresentazione della velocità (variabile dipendente) in funzione del tempo (variabile indipendente). L'accelerazione, definita come la derivata della velocità rispetto al tempo, ha un valore pari alla pendenza della retta tangente, mostrata in blu nella figura.<br />In basso: andamento della derivata, che rappresenta il valore dell'accelerazione in funzione del tempo.]]L'accelerazione di un [[punto materiale]] è la variazione della sua [[velocità]] rispetto al tempo. Il modo più immediato per quantificare tale variazione consiste nel definire l{{'}}''accelerazione media'' <math>\bar {\mathbf {a}}</math> come il rapporto tra la variazione di velocità <math>\Delta\mathbf {v} =\mathbf {v}_2-\mathbf {v}_1</math> al tempo finale <math>\mathbf {v}_2 = \mathbf {v}(t_2)</math> e iniziale <math>\mathbf {v}_1 = \mathbf {v}(t_1)</math> posseduta dall'oggetto, e l'intervallo finito di tempo <math>\Delta t = t_2 - t_1</math> di durata del moto:<ref>{{Cita|McGraw-Hill Concise Encyclopedia of Science and Technology}}.</ref>

:<math>\bar {\mathbf {a}} = \frac {\mathbf {v}_2 - \mathbf {v}_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta\mathbf {v} }{\Delta t}</math>

Un modo preciso per caratterizzare l'accelerazione si ottiene considerando la velocità in ogni istante di tempo, ovvero esprimendo la velocità in funzione del tempo e, ove la funzione è continua, calcolandone la [[derivata]]. Si definisce in questo modo l{{'}}''accelerazione istantanea'':

:<math>\mathbf {a}(t)= \frac {\mathrm{d}\mathbf {v}(t)}{\mathrm{d} t} </math>

Si tratta del limite per l'intervallo di tempo tendente a zero del [[rapporto incrementale]] che definisce l'accelerazione media:

:<math>\mathbf {a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta\mathbf {v}}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\mathbf {v} (t + \Delta\ t) - \mathbf {v}(t)}{\Delta t}</math>

L'accelerazione media coincide con l'accelerazione istantanea quando quest'ultima è costante nel tempo (<math>\mathbf a(t) = \text{costante}</math>), e si parla in tal caso di ''moto uniformemente accelerato''.

Nel moto del punto materiale su una curva, il vettore accelerazione in un punto è orientato verso la concavità della traiettoria in quel punto. Può succedere che durante il moto il vettore velocità cambi soltanto in direzione e verso, restando costante in modulo, come ad esempio nel caso di [[moto circolare uniforme]]. La componente del vettore accelerazione nella direzione del moto è in questo caso nulla, e il vettore è quindi radiale (perpendicolare alla traiettoria). Data una traiettoria curvilinea arbitraria e continua, per individuare la direzione ed il verso dell'accelerazione di un oggetto che la percorre si utilizza il metodo del [[cerchio osculatore]].

In un contesto più formale, sia <math>s(t)</math> la [[lunghezza di un arco]] della [[curva (matematica)|curva]] percorsa dall'oggetto in moto. Se <math>ds</math> è lo spostamento dell'oggetto nel tempo <math>dt</math>, la [[Norma (matematica)|norma]] della velocità istantanea nel punto <math>\mathbf r = (x,y,z)</math> è la derivata dello spostamento rispetto al tempo:<ref name=mathworld>Weisstein, Eric W. ''[http://mathworld.wolfram.com/Acceleration.html Acceleration].'' From MathWorld.</ref>

:<math>v = \frac {d s}{d t} = \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2 } \right)=\sqrt{ \left( \frac {\mathrm{d}x}{\mathrm{d} t} \right)^2 + \left( \frac {\mathrm{d}y}{\mathrm{d} t} \right)^2 + \left( \frac {\mathrm{d}z}{\mathrm{d} t} \right)^2}</math>

con il vettore velocità che è quindi scritto come:

:<math>\mathbf {v} = v \mathbf {\hat{ \mathbf {T}}} </math>

dove <math>\hat {\mathbf {T}} </math> è il vettore unitario tangente alla curva. Il modulo dell'accelerazione istantanea è allora:

:<math>a= \frac {d v}{d t} = \frac {d^2 s}{d t^2} = \frac {\frac {dx}{d t} \frac {d^2 x}{d t^2} + \frac {dy}{d t} \frac {d^2 y}{d t^2} + \frac {dz}{d t} \frac {d^2 z}{d t^2}}{\sqrt{ \left( \frac {dx}{d t} \right)^2 + \left( \frac {dy}{d t} \right)^2 + \left( \frac {dz}{d t} \right)^2}} = \frac {dx}{d s} \frac {d^2 x}{d t^2} + \frac {dy}{d s} \frac {d^2 y}{d t^2} + \frac {dz}{d s} \frac {d^2 z}{d t^2} = \frac {d \mathbf r}{d s} \cdot \frac {d^2 \mathbf r}{d t^2}</math>

ed il vettore accelerazione è dato da:<ref name=mathworld/>

:<math>\mathbf {a} = \frac {d\mathbf {v}}{d t} = \frac{d^2 \mathbf {r}}{d t^2} = \frac{d^2 s}{d t^2} \hat {\mathbf {T}} + k \left( \frac{d s}{d t} \right)^2 \hat {\mathbf {N}}</math>

dove <math>k</math> è la [[Geometria differenziale delle curve#Curvatura|curvatura]] e si sono evidenziate la componente in direzione del moto e la componente in direzione perpendicolare, con <math>\hat {\mathbf {N}}</math> vettore unitario normale alla curva. In generale è possibile introdurre una terna di versori ortonormali, detta [[Geometria differenziale delle curve#Sistema di Frenet|triedro di Frenet]], costituita ortogonalizzando i vettori velocità, accelerazione ed un terzo vettore, generato dal prodotto vettoriale dei primi due. I versori così generati prendono il nome di ''versore tangente'', ''normale'' e ''binormale''. L'accelerazione giace sempre, per costruzione, nel piano individuato dal versore tangente e da quello normale. La [[geometria differenziale]] sfrutta il triedro di Frenet per permettere di calcolare in ogni punto la [[curvatura]] e la [[Geometria differenziale delle curve#Torsione|torsione]] della traiettoria.
==Componenti dell'accelerazione==
[[File:Moto bidimensionale generico con vista delle accelerazioni in gioco.JPG|thumb|upright=1.4|Componente centripeta e tangenziale dell'accelerazione|alt=]]
In uno spazio a tre dimensioni si può scrivere l'accelerazione come:

:<math>\mathbf {a} = a_x\hat {\mathbf i} + a_y\hat {\mathbf j} +a_z\hat {\mathbf k} </math>

dove <math>\hat {\mathbf i}</math>, <math>\hat {\mathbf j}</math> e <math>\hat {\mathbf k}</math> sono i versori del [[sistema di riferimento cartesiano]] utilizzato. Poiché, nella sua definizione generale, l'accelerazione è il vettore che quantifica la variazione di direzione e modulo della velocità, data una traiettoria qualsiasi, è sempre possibile scomporre l'accelerazione del corpo in una componente ad essa tangente, detta ''accelerazione tangenziale'', e in una componente perpendicolare, detta ''accelerazione normale'':

:<math>\mathbf a = a_t \hat\mathbf T + a_n \hat\mathbf N</math>

L'accelerazione tangenziale descrive il cambiamento in [[norma (matematica)|norma]] della velocità, mentre quella normale è associata alla variazione della direzione della velocità.<ref>Infatti, la [[forza (fisica)|forza]] associata alla componente normale dell'accelerazione non compie [[lavoro (fisica)|lavoro]] sull'oggetto, essendo nullo il [[prodotto scalare]] della forza con lo spostamento.</ref>

Sapendo che la [[Velocità|velocità lineare]] <math>\mathbf v</math>, che è sempre tangente alla traiettoria, è legata alla [[velocità angolare]] <math>\boldsymbol\omega</math> dalla relazione:

: <math>\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}</math>

dove <math>\times</math> denota il [[prodotto vettoriale]], <math>\boldsymbol\omega</math> la [[velocità angolare]] e <math>\mathbf r</math> il [[raggio di curvatura]] della traiettoria nel punto considerato. Pertanto <math>\mathbf v</math> è ortogonale al piano formato da <math>\boldsymbol\omega</math> e da <math>\mathbf r</math>, e viceversa, il vettore <math>\boldsymbol\omega</math> è ortogonale al piano formato da <math>\mathbf v</math> e da <math>\mathbf r</math>, cioè dal piano sul quale avviene il moto.

[[File:Osculating circle.svg|thumb|Cerchio osculatore in una traiettoria qualunque]]

Data una traiettoria <math>C</math> giacente in un piano, e tracciato per un punto <math>P</math> in moto il [[cerchio osculatore]], ovvero la circonferenza tangente in ogni istante alla traiettoria in ''<math>P</math>'', la quale approssima al meglio la traiettoria in quel punto, si trova che:

: <math>\mathbf{a} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) = \boldsymbol{\omega} \times \dot\mathbf{r} + \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r} = \boldsymbol\alpha \times \mathbf r + \boldsymbol\omega \times \mathbf v </math>

dove <math>\boldsymbol\alpha</math> è l'[[accelerazione angolare]]. Considerando la [[Derivata di un vettore|derivata del vettore]] velocità <math>\mathbf v = v \hat {\mathbf T}</math>, si ha:

:<math>\mathbf a = \frac{\mathrm d\mathbf v}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} (v \hat\mathbf T) = \frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\hat\mathbf T + \frac{\mathrm d\hat\mathbf T}{\mathrm dt} v = \frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\hat\mathbf T + \frac{v^2}{r} \hat\mathbf N</math>

Eguagliando quanto ottenuto dalle equazioni precedenti e identificando i termini si ha che le componenti sono:

:<math>\mathbf a_t=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\hat\mathbf T = \boldsymbol\alpha \times \mathbf r \qquad \mathbf a_n = \frac{v^2}{r}\hat\mathbf N = \boldsymbol\omega \times \mathbf v</math>

In due dimensioni il versore normale è univocamente determinato, mentre in tre dimensioni bisogna specificarlo; infatti, esso risulta parallelo al raggio del cerchio osculatore.

=== Moto rettilineo ===
Da quanto mostrato segue inoltre che se la componente normale dell'accelerazione è nulla, allora il moto si svolge su una retta; infatti, la direzione del vettore velocità è costante, e dato che la velocità è sempre tangente alla traiettoria, quest'ultima è rettilinea. Nel caso in cui l'accelerazione tangenziale sia costante si ha un [[moto rettilineo uniformemente accelerato]]. Se, invece, anche la componente tangenziale dell'accelerazione sia nulla, il vettore velocità è allora costante e si ha un [[moto rettilineo uniforme]].

=== Moto circolare ===
{{Vedi anche|Moto circolare}}
[[File:Accelerazione centripeta e tangenziale.png|thumb|Componenti dell'accelerazione del moto circolare generico]]Viceversa, se a essere costante è la componente normale la traiettoria risulterà circolare. In questo caso, essa prenderà il nome di ''accelerazione centripeta''<ref>{{Cita web|url=https://www.britannica.com/science/centripetal-acceleration|titolo=Accelerazione centripeta}}</ref> perché punta istante per istante verso il centro della circonferenza. Se l'accelerazione angolare, quindi anche l'accelerazione tangenziale, è costante, si ha un moto circolare uniformemente accelerato. Invece, nel caso di moto circolare uniforme l'accelerazione angolare è nulla, per cui l'accelerazione si riduce alla sola componente centripeta, pertanto la velocità angolare sarà costante nel tempo.

=== Accelerazioni apparenti ===
Un osservatore solidale a un [[sistema di riferimento non inerziale]] sperimenterà delle accelerazioni apparenti. Per il [[Teorema di Coriolis|teorema delle accelerazioni di Coriolis]], le accelerazioni apparenti dall'osservatore sono due: la prima detta ''accelerazione centrifuga'', avente modulo e direzione identici all'accelerazione centripeta, ma con verso opposto, e la seconda che prende il nome di ''accelerazione complementare'', o ''accelerazione di Coriolis'', il cui valore è:

: <math>\mathbf a_\text{Co} = -2\boldsymbol\omega \times \mathbf v</math>

==Significato geometrico==
[[File:Accistantanea.svg|upright=1.4|thumb|Il segno dell'accelerazione istantanea può essere interpretato come la [[concavità]] del grafico spazio-tempo del moto.]]

L'accelerazione media si rappresenta con il grafico velocità-tempo, dal quale si comprende come l'accelerazione media sia uguale alla pendenza della [[retta]] che congiunge i punti iniziale e finale del grafico velocità-tempo in cui andiamo a calcolare la media.

L'accelerazione istantanea è la [[Tangente (geometria)|tangente]] alla curva velocità-tempo nel punto fissato, così come è il significato geometrico della derivata prima. Essa è quindi uguale alla [[derivata|pendenza della retta tangente]] alla curva nel punto in cui viene calcolata.

Attraverso lo studio della curva nel grafico velocità-tempo si possono ricavare ulteriori importanti informazioni: dall'angolo che la tangente forma con l'asse del tempo si evince che l'accelerazione è negativa se la tangente forma un angolo superiore ai 90 gradi con l'asse delle ascisse, è positiva se rimane sotto i 90 gradi mentre è nulla se la tangente è parallela all'asse. Inoltre, si noti come a valori positivi della curva accelerazione-tempo corrispondano valori crescenti della curva velocità-tempo. Poiché l'accelerazione è la derivata seconda della posizione, si può anche ricavare l'andamento della relazione accelerazione-tempo anche studiando la [[concavità]] del grafico.

== Accelerazione nei sistemi di punti materiali ==
Se gli <math>n</math> punti materiali di un sistema sono in movimento, solitamente, la posizione del [[centro di massa]] varia. Pertanto, nell'ipotesi in cui la massa totale <math>m = \sum_{i=1}^n</math> sia costante, l'accelerazione del centro di massa sarà:

:<math>\mathbf a_G = \frac{\mathrm d\mathbf v_G}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\mathbf p}{m} = \frac{\displaystyle{\cancel{m}\left(\cancel{\frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}}\sum_{i=1}^n \mathbf v_i + m\sum_{i=1}^n\frac{\mathrm d\mathbf v_i}{\mathrm dt}\right) + \mathbf p\cancel{\frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}}}}{m^\cancel{2}} = \frac{\mathbf F^{(e)}}{m} </math>

dove <math>\mathbf p </math> la [[quantità di moto]] totale del sistema e <math>\mathbf F^{(e)}</math> è la sommatoria delle [[Forza esterna|forze esterne]].

==Accelerazione di gravità==
{{Vedi anche|Accelerazione di gravità}}
== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==
* {{cita libro | cognome= | nome= | titolo= McGraw-Hill Concise Encyclopedia of Science and Technology - "Acceleration" | editore= McGraw-Hill | città= New York | anno= 2006 | cid= McGraw-Hill Concise Encyclopedia of Science and Technology | lingua= en}}
* {{Cita libro|titolo=The Principles of Mechanics|nome=Henry|cognome=Crew|editore=BiblioBazaar, LLC|anno=2008|isbn=0-559-36871-2|pagine=43|lingua=en}}
* {{Cita libro|titolo=Relativity and Common Sense|url=https://archive.org/details/relativitycommon0000bond|nome=Hermann|cognome=Bondi|pagine=3|editore=Courier Dover Publications|anno=1980|isbn=0-486-24021-5|lingua=en}}
* {{Cita libro|titolo=Physics the Easy Way|url=https://archive.org/details/physicseasyway00lehr_0|pagine=27|nome=Robert L.|cognome=Lehrman|editore=Barron's Educational Series|anno=1998|isbn=0-7641-0236-2|lingua=en}}
* {{Cita libro |titolo = Mathematical Techniques for Engineers and Scientists |autore = Larry C. Andrews & Ronald L. Phillips |pagine = 164 |url = http://books.google.com/books?id=MwrDfvrQyWYC&pg=PA164&dq=particle+%22planar+motion%22#PPA164,M1
|isbn = 0-8194-4506-1|editore = SPIE Press |anno = 2003 |lingua = en}}
* {{Cita libro |titolo = Applied Mathematics |pagine = 337 |autore = Ch V Ramana Murthy & NC Srinivas |isbn = 81-219-2082-5 |url = http://books.google.com/books?id=Q0Pvv4vWOlQC&pg=PA337&vq=frenet&dq=isbn=8121920825|editore = S. Chand & Co. |anno = 2001 |città = New Delhi |lingua = en }}

== Voci correlate ==
*[[Accelerazione centripeta]]
*[[Circonferenza dei flessi]]
*[[Derivata]]
*[[Equazione del moto]]
*[[Moto rettilineo uniforme]]
*[[Moto uniformemente accelerato]]
*[[Moto circolare uniforme]]
*[[Moto parabolico]]
*[[Velocità]]
*[[Metro al secondo quadrato]]
*[[Strappo (cinematica)|Strappo]] - la derivata dell'accelerazione rispetto al tempo

== Altri progetti ==
{{interprogetto|wikt=accelerazione|preposizione=sull'}}

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* {{Treccani|accelerazione}}

{{Controllo di autorità}}
{{Portale|Meccanica}}

[[Categoria:Grandezze cinematiche]]

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