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[[Image:Stirling's Approximation.svg|thumb|upright=1.8|Al crescere di ''n'', il rapporto tra (ln ''n''!) e (''n'' ln ''n'' − ''n'') tende a 1.]]

In [[matematica]] l''''approssimazione di Stirling''' o '''formula di Stirling''' o '''formula approssimata di Stirling''' è un'approssimazione per [[fattoriale|fattoriali]] grandi. Deve il suo nome al matematico scozzese [[James Stirling (matematico)|James Stirling]] (1692-1770).

La formulazione corretta è:

:<math>\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n }{n!} = 1,</math>

che viene scritta spesso come:

:<math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^{n}, \quad \text{per } n \to +\infty</math>

Per valori elevati di <math>n</math> il secondo membro della formula fornisce una buona approssimazione di <math>n!</math> che si può calcolare rapidamente e facilmente. Ad esempio la formula per 30! fornisce l'approssimazione 2,6452 × 10<sup>32</sup>, mentre un valore più preciso è 2,6525 × 10<sup>32</sup>; in questo caso si ha una discrepanza minore dello 0,3%, più precisamente:

:<math>\left.\frac{n! - \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}}{n!}\right|_{n=30} = 0,002773\ldots \approx 0,28\%.</math>

== Stime elementari ==
Una stima elementare per il fattoriale si può ricavare tramite una tecnica di somma parziale. Sia <math>n</math> un intero, allora

:<math>\ln n! = \sum_{k = 1}^n \ln k = \sum_{k = 1}^n k\ln k - \sum_{k = 1}^n (k - 1)\ln k </math>

:<math>= n \ln n - \sum_{k = 1}^{n - 1} k \left[\ln(k + 1) - \ln k \right] = n \ln n - \sum_{k = 1}^{n - 1} k \int_{k}^{k + 1} \frac{dt}{t}</math>

:<math>= n \ln n - \sum_{k = 1}^{n - 1} \int_{k}^{k + 1} \frac{ \lfloor t \rfloor dt}{t} = n \ln n - \int_{1}^{n} \frac{ \lfloor t \rfloor dt}{t} = n \ln n - (n-1) + \int_{1}^{n} \frac{ \{ t \} dt}{t},</math>

dove <math>\lfloor x \rfloor</math> e <math>\left\{ x \right\}</math> sono la [[parte intera]] e la parte frazionaria di <math>x</math>.

Segue che

:<math>n \ln n - (n-1) \le \ln n! \le n \ln n - (n-1) + \ln n</math>

che, passando all'esponenziale, diventa

:<math>e\left(\frac{n}{e}\right)^n \le n! \le e n\left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>

== Derivazione ==
La formula, come pure la stima dell'errore, può essere derivata sviluppando il [[logaritmo naturale]] del fattoriale

:<math>\ln(n!) = \ln(1) + \ln(2) + \cdots + \ln(n)</math>

e per espressioni come questa si può utilizzare la [[formula di Eulero-Maclaurin]].

Tale formula di approssimazione può essere espressa in forma logaritmica:

:<math>\ln n! \approx \left(n+\frac{1}{2}\right)\ln n - n +\ln\left(\sqrt{2\pi}\right).</math>

La costante <math>\ln\left(\sqrt{2\pi}\right)</math> vale approssimativamente 0,918938533204673, arrotondata alle 15 cifre decimali.

La formula si può ottenere anche attraverso ripetute [[integrazione per parti|integrazioni per parti]]. Il termine principale dell'espressione può ottenersi applicando il metodo della [[discesa del gradiente]].

==Derivazione alternativa==
Una formula alternativa per <math>n!</math> usando la [[funzione Gamma]] è

:<math>n! = \int_0^\infty x^n e^{-x}\,{\rm d}x</math>

(come si può vedere attraverso ripetute integrazioni per parti). Effettuando il cambio di variabile <math>x=ny</math> si ha

:<math>n! = \int_0^\infty e^{n\ln x-x}\,{\rm d}x = e^{n \ln n} n \int_0^\infty e^{n(\ln y -y)}\,{\rm d}y.</math>

Applicando il [[metodo di Laplace]] si ottiene:

:<math>\int_0^\infty e^{n(\ln y -y)}\,{\rm d}y \sim \sqrt{\frac{2\pi}{n}} e^{-n}</math>

e si ricava nuovamente la formula di Stirling,

:<math>n! \sim e^{n \ln n} n \sqrt{\frac{2\pi}{n}} e^{-n}= \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>

Difatti ulteriori correzioni si possono ottenere utilizzando il metodo di Laplace. Per esempio, sviluppando all'ordine successivo, il metodo di Laplace fornisce

:<math>\int_0^\infty e^{n(\ln y-y)}\,{\rm d}y \sim \sqrt{\frac{2\pi}{n}} e^{-n}\left(1+\frac{1}{12 n}\right)</math>

e dà la formula di Stirling con un ulteriore ordine

:<math>n! \sim e^{n \ln n} n \sqrt{\frac{2\pi}{n}} e^{-n}\left(1+\frac{1}{12 n}\right)= \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1+ \frac{1}{12 n}\right).</math>

Una versione dell'analisi complessa di questo metodo<ref>Phillipe Flajolet and Robert Sedgewick, ''Analytic Combinatorics'', p. 555</ref> è di considerare <math>\frac{1}{n!}</math> come un coefficiente della [[serie di Taylor]] della funzione esponenziale <math>e^z = \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n!}</math>, calcolato con la [[formula integrale di Cauchy]]:

:<math>\frac{1}{n!} = \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{|z|=r} \frac{e^z}{z^{n+1}} \, \mathrm dz.</math>

L'integrale di linea può essere approssimato utilizzando il metodo della [[discesa del gradiente]] con un'appropriata scelta del raggio del contorno <math>r=r_n</math>. La porzione dominante dell'integrale vicino al [[punto di sella]] è successivamente approssimato dall'integrale reale e dal metodo di Laplace, mentre la parte rimanente può essere maggiorata per avere un termine d'errore.

== Velocità di convergenza e stima dell'errore ==
Più precisamente si ha

:<math>n! = \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}e^{\lambda_n},</math>

con

:<math>\frac{1}{12n+1} < \lambda_n < \frac{1}{12n}.</math>

In effetti la formula di Stirling è una approssimazione della seguente serie (ora chiamata '''serie di Stirling'''):

:<math>n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n \left( 1 + {1\over 12n} + {1\over 288n^2} - {139\over 51840n^3} - {571\over 2488320n^4} + \cdots \right).</math>

Quando <math>n \to +\infty</math>, l'errore della serie troncata è asintoticamente uguale al primo termine omesso. Questo è un esempio di [[sviluppo asintotico]].

È chiamata '''serie di Stirling''' anche quella dello sviluppo asintotico del logaritmo:

:<math>\ln n! = n\ln n - n + {1\over 2}\ln(2\pi n) + {1\over 12n} - {1\over 360n^3} + {1\over1260n^5} - {1\over 1680n^7} + \cdots.</math>

In questo caso si dimostra che l'errore che si commette troncando la serie ha lo stesso segno e al più la grandezza del primo termine omesso.

== Formula di Stirling per la funzione gamma ==
La formula di Stirling si può applicare (non sempre) anche alla [[funzione gamma]], la funzione che estende il fattoriale al campo complesso, denotata con le seguenti scritture

:<math>\Gamma(z+1) = \Pi(z) = z!</math>

e definita per tutti i numeri complessi eccetto gli interi non positivi. Se <math>\mathrm{Re}(z) > 0,</math> allora

:<math>\ln \Gamma (z) = \left(z-\frac12\right)\ln z -z + \frac{\ln {2 \pi}}{2} + 2 \int_0^\infty \frac{\arctan \frac{t}{z}}{\exp(2 \pi t)-1} dt.</math>

Integrando per parti ripetutamente si ottiene lo sviluppo asintotico

:<math>\ln \Gamma (z) = \left(z-\frac12\right)\ln z -z + \frac{\ln {2 \pi}}{2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}},</math>

dove <math>B_n</math> è l'<math>n</math>-esimo [[numero di Bernoulli]]. La formula vale per <math>|z|</math> [[sufficientemente grande]] quando <math>|\arg z| < \pi - \epsilon</math>, con <math>\epsilon</math> positivo, con un termine di errore del tipo <math>O(z^{-m - 1/2})</math> quando si usano i primi <math>m</math> termini dello sviluppo.

== Una versione convergente della formula di Stirling ==
Per ottenere una versione convergente della formula di Stirling bisogna calcolare

:<math>\int_0^\infty \frac{2\arctan \frac{t}{z}}{\exp(2 \pi t)-1}\, dt= \ln\Gamma (z) - (z-\frac12)\ln z +z - \frac12\ln(2\pi).</math>

Un modo per far questo si serve di una serie convergente di [[simbolo di Pochhammer|fattoriali crescenti]]. Se scriviamo <math>z^{\overline n} = z(z+1) \cdots (z+n-1)</math>, si trova

:<math>\int_0^\infty \frac{2\arctan \frac{t}{z}}{\exp(2 \pi t)-1} \, dt= \sum_{n=1}^\infty \frac{c_n}{(z+1)^{\overline n}},</math>

dove

:<math>n c_n = \int_0^1 x^{\overline n}(x-\frac12)\, dx.</math>

Da qui si ottiene una versione della serie di Stirling

:<math>\ln \Gamma (z) = (z-\frac12)\ln z -z + \frac{\ln {2 \pi}}{2} + \frac{1}{12(z+1)} + \frac{1}{12(z+1)(z+2)} + \frac{29}{60(z+1)(z+2)(z+3)} + \cdots</math>

che converge quando <math>\mathrm{Re}(z)>0</math>.

== Storia ==
La formula venne scoperta per la prima volta da [[Abraham de Moivre|de Moivre]] (1667-1754) nella forma

:<math>n! = \Theta(n^{n+1/2} e^{-n}), \quad \forall n \in I(\infty).</math><ref>Si è adottata la notazione della [[Stima_asintotica#Theta|Stima asintotica]]</ref>

Il contributo di Stirling consiste nell'aver dimostrato che la costante di proporzionalità è uguale a <math>\sqrt{2\pi}</math>.

Versioni più precise sono state ottenute da [[Jacques Binet|Binet]].

==Note==
<references/>

== Bibliografia ==
* {{Cita pubblicazione|autore=Milton Abramowitz, [[Irene Stegun]] |anno=1964|titolo=Handbook of Mathematical Functions |url=http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/toc.htm |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20080926174851/http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/toc.htm |urlmorto=sì}}
* R. B. Paris, D. Kaminsky (2001): ''Asymptotics and the Mellin-Barnes Integrals'', Cambridge University Press
* E. T. Whittaker, G. N. Watson (1963): ''A Course in Modern Analysis'', IV ed., Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3

==Voci correlate==
*[[Fattoriale]]
*[[Stima asintotica]]
*[[Gamma di Eulero]]
*[[Formula di Eulero-Maclaurin]]

== Altri progetti ==
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{{analisi matematica}}

{{Portale|matematica}}

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Approssimazione di Stirling - Revision history

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