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{{NN|matematica|dicembre 2020}}
In [[matematica]], il '''coefficiente binomiale''' <math> \tbinom{n}{k} </math> (che si legge "<math>n</math> su <math>k</math>") è un [[numero intero]] non negativo definito dalla seguente formula
:<math> \binom{n}{k} = C(n ; k) = \frac{n!}{k! \cdot \left( n - k \right)!},\qquad n,k\in\N, \, 0\le k\le n,</math>
dove <math>n!</math> è il [[fattoriale]] di <math>n</math>. Può essere calcolato anche facendo ricorso al [[triangolo di Tartaglia]]. Esso fornisce il numero delle [[Combinazione#Combinazioni semplici|combinazioni semplici]] di <math>n</math> elementi di classe <math>k</math>.

Per esempio:
:<math>{5\choose 3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{3\cdot2\cdot1\cdot(2\cdot1)}={120\over 12}=10 </math>
è il numero di combinazioni di <math>5</math> elementi presi <math>3</math> alla volta, evitando ripetizioni ma indipendentemente dall'ordine di estrazione.

== Proprietà ==
Il coefficiente binomiale gode delle seguenti proprietà:
*1) <math>{n \choose 0} = {n \choose n} = 1.</math>

:Dimostrazione formale:

:<math>{n \choose 0} = {{n!}\over{0!(n-0)!}} = {n! \over n!} = 1</math>

:<math>{n \choose n} = {{n!}\over{n!(n-n)!}}= {n! \over n!} = 1.</math>

:Dimostrazione combinatoria: le combinazioni di <math>n</math> elementi di lunghezza <math>0</math> o <math>n</math> sono evidentemente una sola: rispettivamente l'insieme vuoto o l'intero insieme di <math>n</math> elementi.

* <math>{n \choose 1} = {n \choose n-1} = n.</math>

:Dimostrazione formale:

:<math>{n \choose 1} = {{n!}\over{1!(n-1)!}} = {{n!}\over{(n-1)![n-(n-1)]!}} = {n \choose n-1} = n.</math>

:Dimostrazione combinatoria: vi sono evidentemente <math>n</math> modi per scegliere un elemento tra <math>n</math> o per tralasciarne uno.

* <math>{n \choose k} = {n \choose n-k} </math>

:Dimostrazione formale:

:<math>{n \choose k} = {{n!}\over{k!(n-k)!}} = {{n!}\over{(n-k)![n-(n-k)]!}} = {n \choose n-k}.</math>

:Dimostrazione combinatoria: le scelte di <math>k</math> elementi sono in [[corrispondenza biunivoca]] con i sottoinsiemi degli <math>n-k</math> elementi tralasciati.

* <math>{n+1 \choose k+1} = {n \choose k+1} + {n \choose k} </math>, ovvero: <math>{n \choose k} = {n-1 \choose k} + {n-1 \choose k-1}.</math>

:(proprietà che permette di costruire i coefficienti binomiali con il [[triangolo di Tartaglia]]. Inoltre, tale proprietà può essere utile per dimostrare che <math>{n \choose k}</math> è un [[numero intero]] non negativo usando il [[principio d'induzione]] su <math>n</math>, con l'ipotesi per cui <math>{n \choose k}</math> appartiene ai [[numero intero|numeri interi]] non negativi per ogni <math>k\in\N </math> tale che <math> 0\le k\le n</math>, e come tesi che lo stesso valga per <math>{n+1 \choose k}</math>; per <math>n=1</math> abbiamo che <math>{1 \choose 0} = {1 \choose 1} =1\in\N</math>).

:Dimostrazione formale:

:<math>{n \choose k+1} + {n \choose k} = {{n!}\over{(k+1)!(n-k-1)!}}+{{n!}\over{k!(n-k)!}}</math>

:considerando il fatto che
:<math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)!</math>, ed allo stesso modo <math>(k+1)!=(k+1)k!</math>

:si ha
:<math>{n \choose k+1} + {n \choose k} = {{n!}\over{(k+1)k!(n-k-1)!}}+{{n!}\over{(n-k)k!(n-k-1)!}} = </math>

:<math>= {(n-k){n!}\over{(k+1)(n-k)k!(n-k-1)!}}+{(k+1){n!}\over{(k+1)(n-k)k!(n-k-1)!}}</math>

:e quindi

:<math>{n \choose k+1} + {n \choose k} = {(n-k+k+1){n!}\over{(k+1)k!(n-k)(n-k-1)!}}</math>

:<math>{n \choose k+1} + {n \choose k} = {{(n+1)!}\over{(k+1)!(n-k)!}} = {n+1 \choose k+1}</math>

:ovvero la tesi.

:Dimostrazione combinatoria: Per calcolare il numero di combinazioni semplici di <math>n+1</math> elementi di lunghezza <math>k+1</math>, scegliamo uno degli <math>n+1</math> elementi, che chiameremo Pippo, e dividiamo le combinazioni in due classi: quelle che non contengono Pippo e quelle che lo contengono. Le cardinalità delle due classi sono evidentemente date dai due termini del secondo membro della formula che volevamo dimostrare.

* <math>2^n = {n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} + \ldots + {n \choose n-1} + {n \choose n} =\sum_{k=0}^n {n \choose k}.</math>

:Dimostrazione formale:
:partendo dal [[teorema binomiale]] abbiamo:

:<math> 2^n =(1 + 1)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} 1^{(n-k)} 1^{k} = \sum_{k=0}^n {n \choose k}</math>

:ovvero la tesi.

:Dimostrazione combinatoria:

:<math> 2^{n}</math> è il numero dei sottoinsiemi di un insieme di <math>n</math> elementi. Possiamo dividere tali sottoinsiemi in classi, ponendo in ogni classe quelli di una data cardinalità. Poiché i sottoinsiemi di cardinalità <math>k</math> sono proprio <math>{n \choose k}</math>, si ottiene subito la tesi.

== Applicazioni ==
* Il [[teorema binomiale]], o binomio di Newton, utilizza il coefficiente binomiale per esprimere lo sviluppo di una potenza <math>n</math>-esima di un binomio qualsiasi secondo la seguente formula:
:<math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^{k}.</math>
* Il numero di [[diagonale|diagonali]] di un poligono convesso di <math>n</math> lati può essere espresso secondo la seguente formula: <math>d={n \choose 2}-n=\frac{n(n - 3)}{2}</math>
* Dato un insieme <math>S</math>, tale che <math>|S|=n</math>, si utilizza il coefficiente binomiale per calcolare la cardinalità dell'[[insieme delle parti]] di <math>S</math>, <math>\mathcal{P}(S)</math>:
:<math>|\mathcal{P}(S)|=\sum_{k=0}^n {n \choose k}=2^n.</math>
*La potenza <math>n</math>-esima di un numero intero <math>x</math> può essere espressa con la [[sommatoria]] di tutte le possibili produttorie di <math>x-1</math> coefficienti binomiali <math>{n \choose a} {a \choose b} {b \choose c} \ldots {i \choose j} {j \choose k} {k \choose l} </math>, con <math>n \ge a \ge b \ge c \ge \ldots \ge i \ge j \ge k \ge l\ge0</math>. Esempio:
:<math>4^3 = {3 \choose 3} {3 \choose 3} {3 \choose 3} + {3 \choose 3} {3 \choose 3} {3 \choose 2} + {3 \choose 3} {3 \choose 3} {3 \choose 1} + {3 \choose 3} {3 \choose 3} {3 \choose 0} + {3 \choose 3} {3 \choose 2} {2 \choose 2} + \ldots + {3 \choose 1} {1 \choose 1} {1 \choose 0} + {3 \choose 1} {1 \choose 0} {0 \choose 0} + {3 \choose 0} {0 \choose 0} {0 \choose 0}.</math>

== Estensioni ==
Si può estendere il coefficiente binomiale al caso in cui <math>k</math> sia negativo, oppure maggiore di <math>n</math>, ponendo:
:<math>{n \choose k}=0,\qquad n,k\in\Z, n>0, k<0</math> oppure <math>k>n.</math>
Si può anche estendere il coefficiente ai [[Numero reale|numeri reali]]. A tale scopo, può convenire iniziare con l'osservazione che il coefficiente binomiale è anche il rapporto tra il numero delle funzioni iniettive da un insieme di cardinalità <math>k</math> in uno di cardinalità <math>n</math> (ovvero il numero delle [[Disposizione#Disposizioni semplici|disposizioni semplici]] di <math>n</math> oggetti di classe <math>k</math>) ed il numero delle permutazioni di <math>k</math> oggetti:
:<math>{n \choose k}=\frac{(n)_k}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}.</math>
Si può porre:
:<math>(a)_k=a(a-1)\cdots(a-k+1) = \prod_{i=0}^{k-1}(a-i), \qquad a\in\Complex, k\in\Z, k\ge 0,</math>
ad esempio,
:<math>(4{,}5)_3=4{,}5\cdot 3{,}5\cdot 2{,}5=39{,}375.</math>
Con tale convenzione, si ha:
:<math>{a \choose k}=\frac{(a)_k}{k!}\qquad a\in\Complex; k\in\Z, k\ge 0,</math>
ad esempio:
:<math>{4{,}5 \choose 3}=\frac{(4{,}5)_3}{3!}=\frac{39{,}375}{6}=6{,}5625.</math>
Infine, esiste una generalizzazione del coefficiente binomiale che coinvolge un parametro <math>q</math>, denominata [[coefficiente binomiale gaussiano]] (talvolta semplicemente <math>q</math>-binomiale).

== Caso particolare ==
Si può notare che per <math>k=2</math> il coefficiente binomiale equivale alla [[Somma dei numeri naturali|somma dei primi <math>n-1</math> numeri naturali]]:
:<math>{n \choose 2} = \frac{n!}{(n-2)!2!} = \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!2} = \frac{n(n-1)}{2} = \sum_{i=1}^{n-1} i.</math>

== Bibliografia ==
* {{cita libro|autore=[[Mauro Cerasoli]]|coautori=[[Franco Eugeni]]; [[Marco Protasi]]|titolo=Elementi di matematica discreta|anno=1988|editore=Zanichelli|città=Bologna}}
* {{cita libro|autore=Giorgio Dall'Aglio|titolo=Calcolo delle probabilità|anno=2003|editore=Zanichelli|città=Bologna}}
* {{cita libro|autore=Sheldon M. Ross|titolo=Calcolo delle probabilità|anno=2004|editore=Apogeo|città=Milano}}
* Saunders Mac Lane, Garrett Birkhoff, ''Algebra'', Milano, Mursia 1998

== Voci correlate ==
* [[Coefficiente multinomiale]]
* [[Coefficiente binomiale simmetrico]]
* [[Teorema binomiale]]
* [[Fattoriale]]
* [[Calcolo combinatorio]], [[Combinazione]], [[Permutazione]]
* [[Probabilità]]
* [[Distribuzione binomiale|Variabile casuale binomiale]]
* [[Statistica]]
* [[Triangolo di Tartaglia]]

== Altri progetti ==
{{interprogetto|preposizione=sul}}

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{Combinatoria}}
{{Controllo di autorità}}
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[[Categoria:Polinomi]]
[[Categoria:Funzioni speciali]]
[[Categoria:Successioni a due indici]]

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