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2020-12-02T14:16:01Z

Annullata la modifica 117024802 di 151.19.220.91 (discussione)

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{{nota disambigua|la disuguaglianza omonima riguardante numeri reali|Disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma}}
La '''disuguaglianza di Čebyšëv''' è usata soprattutto nell'ambito della teoria probabilistica e più raramente nell'ambito di serie di dati reali. Spesso la disuguaglianza di Čebyšëv viene indicata come [[disuguaglianza di Markov]], di cui è un corollario.

La disuguaglianza venne pubblicata la prima volta nel [[1853]] da [[Irénée-Jules Bienaymé]] e riscoperta indipendentemente da [[Pafnutij L'vovič Čebyšëv]] alcuni anni dopo (pertanto viene anche citata come '''disuguaglianza di Bienaymé-Čebyšëv''').

==Descrizione==

Nell'ambito delle [[variabile casuale|variabili casuali]] (v.c.) essa afferma che se la v.c. <math>X</math> ha [[valore atteso]] <math>\mu</math> e la [[varianza]] <math>\sigma^2</math> e <math>\lambda</math> è un numero reale positivo, allora la [[probabilità]] che <math>X</math> assuma un valore compreso
tra <math>\mu - \lambda \sigma</math> e <math>\mu + \lambda \sigma</math> è maggiore di <math display="inline">1 - 1/ \lambda^2 </math>.

In altre parole afferma che, dato un carattere di cui sono noti solamente [[media aritmetica]] <math>\mu </math> e [[deviazione standard]] <math>\sigma </math>, possiamo conoscere la probabilità che una [[variabile casuale]] possa avere valori esterni a un intervallo simmetrico rispetto alla media aritmetica. In altri termini questo teorema ci assicura che, indipendentemente dalla distribuzione della [[variabile casuale]], la probabilità che questa assuma valori distanti dalla media più di <math>\lambda </math> volte la deviazione standard è al massimo <math>1 / \lambda^2</math>

Otteniamo quindi il limite inferiore della probabilità di <math>\Pr\left(| X-\mu | \le \lambda\cdot\sigma\right)</math> espresso con la formula:

:<math>\Pr\left(| X-\mu | \le \lambda\cdot\sigma\right)\ge \ 1 - \frac{1}{\lambda^2}</math>

cioè:
:<math> \Pr(\mu - \lambda \sigma \le X \le \mu + \lambda \sigma) \ge \ 1 - \frac{1}{\lambda^2}</math>

da cui si può ottenere anche il limite superiore della probabilità di <math>\Pr\left(|{X-\mu}| \geq \lambda\cdot\sigma\right)</math> espresso come:<ref>Si ha infatti:
:<math>\Pr(\mu - \lambda \sigma \le X \le \mu + \lambda \sigma) = \Pr(- \lambda \sigma \le X - \mu \le + \lambda \sigma) = \Pr\left(| X-\mu | \le \lambda\cdot\sigma\right)</math>
e:
:<math>\Pr\left(|{X-\mu}| \le \lambda\cdot\sigma\right) \ge \ 1 - \frac{1}{\lambda^2}</math>
da cui:
:<math>1-\Pr\left(|{X-\mu}| \le \lambda\cdot\sigma\right) \le \ \frac{1}{\lambda^2}</math></ref>
:<math>1-\Pr\left(|{X-\mu}| \le \lambda\cdot\sigma\right) \le \ \frac{1}{\lambda^2}</math>
che equivale a scrivere:
:<math>\Pr\left(|{X-\mu}| \ge \lambda\cdot\sigma\right) \le \ \frac{1}{\lambda^2}</math>

cioè:
:<math> \Pr(X \le \mu - \lambda \sigma \ \cup \ X \geq \mu + \lambda \sigma) \le \frac{1}{\lambda^2}</math>

Nell'ambito della [[statistica descrittiva]] essa afferma che l'intervallo di valori compreso tra <math>\mu - \lambda \sigma</math> e <math>\mu + \lambda \sigma</math> ha un livello di confidenza di almeno <math>(1 - 1 / \lambda^2)</math>.
[[Fisz]] dimostrò che per le variabili dotate di [[valore atteso|media]] e [[varianza]] non è possibile trovare una disuguaglianza migliore di quella di Čebyšëv, a meno che non si impongano dei vincoli alla distribuzione della variabile.

Da questa disuguaglianza si deduce che
* almeno il 75% dei valori sono compresi tra <math>\mu - 2 \sigma</math> e <math>\mu + 2 \sigma</math>
* almeno l'89% dei valori sono compresi tra <math>\mu - 3 \sigma</math> e <math>\mu + 3 \sigma</math>
* almeno il 94% dei valori sono compresi tra <math>\mu - 4 \sigma</math> e <math>\mu + 4 \sigma</math>
* almeno il 96% dei valori sono compresi tra <math>\mu - 5 \sigma</math> e <math>\mu + 5 \sigma</math>
* almeno il 99% dei valori sono compresi tra <math>\mu - 10 \sigma</math> e <math>\mu + 10 \sigma</math>
indipendentemente da come sono distribuiti i valori.

==Dimostrazione probabilistica==

Per ogni evento <math>A</math>, sia <math>I_A</math> la variabile casuale indicatore di <math>A</math>, cioè <math>I_A</math> è uguale a <math>1</math> se l'evento <math>A</math> accade e <math>0</math> altrimenti. Allora si ha:

:<math>\Pr(|X-\mu| \geq \lambda\sigma) = \operatorname{E}(I_{|X-\mu| \geq \lambda\sigma})
= \operatorname{E}(I_{(X-\mu)^2 \geq (\lambda\sigma)^2 }) = \Pr((X-\mu)^2 \geq (\lambda \sigma)^2) </math>

Dalla [[disuguaglianza di Markov]] segue poi:

:<math> \Pr((X-\mu)^2 \geq (\lambda \sigma)^2) \leq \frac{\operatorname{E}((X-\mu)^2)}{(\lambda \sigma)^2}</math>

Si ha quindi:

:<math>\Pr(|X-\mu| \geq \lambda \sigma) \leq \frac{1}{\lambda^2}\frac{\operatorname{E}((X-\mu)^2)}{\sigma^2} = \frac{1}{\lambda^2}</math>

==Note==
<references/>

== Bibliografia ==
* A. Papoulis (1991), ''Probability, Random Variables, and Stochastic Processes'', 3rd ed. McGraw-Hill. ISBN 0-07-100870-5. pp. 113–114.
* [[Geoffrey Grimmett|G. Grimmett]] and D. Stirzaker (2001), ''Probability and Random Processes'', 3rd ed. Oxford. ISBN 0-19-857222-0. Section 7.3.

== Voci correlate ==
* [[Disuguaglianza di Cantelli]], che è la corrispondente disuguaglianza nel caso di una sola coda.
* [[Disuguaglianza di Bernstein]], nel caso di v.c. limitate
* [[Disuguaglianza di Hoeffding]], nel caso di v.c. limitate, con varianza ignota
* [[Statistica]]
* [[Probabilità]]
* [[Deviazione standard]]
* [[Intervallo di confidenza]]

== Altri progetti ==
{{interprogetto}}

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{Probabilità}}
{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Disuguaglianze|Cebyšëv, disuguaglianza di]]
[[Categoria:Teoria della probabilità]]

Disuguaglianza di Čebyšëv - Revision history

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