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2025-06-02T16:57:33Z

Descrizione

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[[File:Funcao venn.svg|miniatura|Rappresentazione di una funzione che associa a ogni elemento del dominio X un elemento del codominio Y]]
In [[matematica]], una '''funzione''' è una [[relazione (matematica)|relazione]] tra due [[insieme|insiemi]], chiamati [[dominio e codominio]] della funzione, che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.

Se il dominio e il codominio della funzione <math>f</math> sono rispettivamente indicati con <math>X</math> e <math>Y</math>, la relazione si indica con <math>f \colon X \to Y</math> e l’elemento che <math>f</math> associa a <math>x \in X</math> si indica con <math>f(x)</math> (si pronuncia "effe di x").

== Descrizione ==
La parola "funzione" non si riferisce alla sola associazione di elementi, ma alla terna: associazione di elementi, dominio e codominio. Specificare un'associazione non definisce una funzione: occorre specificare anche dominio e codominio. Infatti, due funzioni che hanno una "stessa" associazione di elementi ma diverso dominio o diverso codominio sono funzioni diverse. Per esempio, la funzione che associa a ogni [[Numero naturale|numero ''naturale'']] il suo quadrato (<math>f \colon \N \to \N, f(n)=n^{2}</math>) è diversa dalla funzione che associa a un [[Numero intero|numero ''intero'']] il quadrato di quel numero (<math>f \colon \Z \to \N, f(z)=z^{2}</math>); infatti la prima è [[Funzione iniettiva|iniettiva]] la seconda no. In molti casi, quando il dominio e il codominio sono chiari dal contesto, una funzione viene espressa indicando solamente la relazione e sottintendendo dominio e codominio.

Si dice che <math>x</math> è l'argomento della funzione, oppure un valore della [[variabile (matematica)|variabile]] indipendente, mentre <math>y = f(x)</math> è un valore della [[Variabili dipendenti e indipendenti|variabile dipendente]] della funzione. Sinonimi del termine "funzione" sono ''applicazione'' e ''mappa''. Il termine ''[[Trasformazione lineare|trasformazione]]'' viene utilizzato spesso in ambito geometrico per indicare una funzione <math>f\colon X \rightarrow X</math> invertibile e che conserva le proprietà geometriche di <math>X</math>, mentre ''operatore'' è talvolta utilizzato nella trattazione di [[Trasformazione lineare|funzioni lineari]] tra [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]].

Le funzioni hanno un ruolo molto importante in tutte le [[scienze esatte]]. Il concetto di [[dipendenza funzionale]] tra due grandezze sostituisce infatti, all'interno delle teorie fisiche e matematiche, quello di causa-effetto, che, al contrario del precedente, non riguarda enti teorici ma direttamente gli elementi della realtà concreta. Se si afferma, ad esempio, che la [[pressione]] di una certa quantità di [[gas perfetto]] è funzione della sua [[temperatura]] e del suo [[volume]] si sta facendo un'affermazione interna a un modello [[termodinamica|termodinamico]], mentre il rapporto di causa-effetto che viene individuato fra le tre grandezze dipende in modo sostanziale dalle possibilità di intervento concreto su di esse. Rimanendo a questo esempio, il valore della pressione viene visto più spesso come conseguenza del valore degli altri due parametri, poiché è generalmente molto più facile intervenire sul volume e sulla temperatura che direttamente sulla pressione.

=== Esempi ===
Gli esempi più semplici di funzione sono quelli per cui sia il dominio che il codominio sono [[Numero|insiemi numerici]]. Per esempio, se a ogni numero naturale si associa il doppio di tale numero, si ha una funzione, il cui dominio è l'insieme dei numeri naturali e il cui codominio è l'insieme dei numeri naturali pari. Tuttavia si parla di funzione anche quando il dominio o il codominio, o entrambi, non sono insiemi numerici. Se, per esempio, a ogni triangolo del piano si associa il cerchio in esso inscritto, si ha ugualmente una funzione, in quanto per ogni triangolo esiste uno e un solo cerchio in esso inscritto.

Inoltre spesso si parla di funzioni con più argomenti, o con più valori: per esempio la funzione che alle coordinate <math>x, y, z</math> di un punto nello spazio fa corrispondere temperatura <math>T</math> e pressione <math>P</math> dell'aria. In tal caso, la funzione ha in realtà sempre un solo argomento, che è la terna <math>(x, y, z),</math> e ha sempre un solo valore, che è la coppia <math>(T, P).</math>

== Definizione ==
Dati due insiemi non vuoti <math>X</math> e <math>Y</math>, si chiama funzione da <math>X</math> in <math>Y</math> una relazione <math>f</math> tale che per ogni <math>x \in X</math> esiste uno ed un solo elemento <math>y \in Y</math> tale che <math>(x, y) \in f</math>. Tale elemento tradizionalmente si denota con <math>f(x)</math>: in altre parole, invece di scrivere <math>(x, y) \in f</math> si può usare la scrittura più tradizionale:

:<math>y=f(x).</math>

Il fatto che <math>f</math> sia una funzione da <math>X</math> in <math>Y</math> che associa a <math>x</math> l’elemento <math>f(x)</math> si può esprimere con la scrittura:

:<math>\begin{matrix} f\colon & X & \longrightarrow & Y \\ & x & \longmapsto & f(x) \end{matrix}.</math>

L’insieme <math>X</math> (da cui la funzione <math>f</math> “prende” i valori) è il [[dominio (matematica)|dominio]] della funzione <math>f</math>, mentre l’insieme <math>Y</math> (in cui si trovano i valori “restituiti” dalla funzione <math>f</math>) è il [[codominio]] della funzione <math>f</math>.<ref>{{Cita libro | autore=Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci | titolo=Analisi matematica | editore=Liguori Editore Srl | anno=1994 | url=http://books.google.it/books?id=ZBdhfJky_D4C&printsec=frontcover&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#v=onepage&q=&f=false| pagine='''p. 63'''}}
</ref>

Le espressioni “prendere un valore” e “restituire un valore” fanno riferimento a un modello meccanico delle funzioni, rappresentate come meccanismi che, fornito loro un elemento del dominio, lo “trasformano” nel corrispondente elemento del codominio.

=== Immagine e controimmagine ===
{{vedi anche|Immagine (matematica)|Controimmagine}}
Data una funzione <math>f</math> di dominio <math>X</math> e codominio <math>Y,</math> comunque scelto un elemento <math>x</math> del dominio, si chiama ''immagine'' di <math>x</math> il corrispondente elemento del codominio, indicato con <math>f(x).</math> Analogamente, se <math>y</math> è un elemento del codominio che sia immagine di un elemento <math>x</math> del dominio, cioè se <math>y=f(x)</math>, si dice che <math>x</math> è una [[controimmagine]] di <math>y.</math> Mentre a ogni elemento del dominio di <math>f</math> è assegnata una e una sola immagine, è possibile che un elemento nel codominio possegga diverse controimmagini, o che non ne possieda affatto. Si definisce quindi “controimmagine” dell’elemento <math>y\in Y</math> l’insieme

:<math> f^{-1}(y) = \{ x \in X \, |\, f(x) = y\}.</math>

Se <math>f^{-1}(y) \ne \varnothing </math> per ogni <math>y \in Y</math> si dice che <math>f</math> è ''[[funzione suriettiva|suriettiva]]'', mentre se <math>f^{-1}(y)</math> contiene al più un elemento per ogni <math>y</math> si dice che <math>f</math> è ''[[funzione iniettiva|iniettiva]]''. Se valgono entrambe le condizioni, <math>f</math> è detta ''[[funzione biunivoca|biiettiva]]'' o ''biunivoca''.

L’insieme

:<math>\{y \in Y\, |\, \exists x \in X : y=f(x)\}</math>

degli elementi <math>y</math> del codominio per i quali esiste almeno un <math>x</math> nel dominio che ha <math>y</math> come immagine è detto ''immagine'' di <math>f</math> e si denota con <math>\textrm{Im}(f)</math> o con <math>f(X)</math>.<ref>{{Cita libro | autore=Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci | titolo=Analisi matematica | editore=Liguori Editore Srl | anno=1994 | url=http://books.google.it/books?id=ZBdhfJky_D4C&printsec=frontcover&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#v=onepage&q=&f=false| pagine='''p. 67'''}}
</ref>

=== Altre notazioni per le funzioni ===
Per il valore di una funzione <math>F</math> corrispondente a un elemento <math>x</math>, denotabile con la notazione tradizionale <math>F(x)</math>, vengono usate anche altre due scritture.

Per quella che chiamiamo '''notazione a funzione prefissa''' si pone

:<math>Fx := F(x).</math>

Per quella che chiamiamo '''notazione a funzione suffissale''' si pone

:<math>xF := F(x).</math>

A volte al posto delle parentesi tonde si usano parentesi quadrate:

:<math>F[x]=F(x).</math>

In questo modo si evitano confusioni con le parentesi che indicano l’[[ordine delle operazioni]]. Questa notazione è usata da alcuni programmi di calcolo simbolico.

Nelle funzioni di due variabili si usa talvolta la '''notazione infissa''', ossia

:<math>xFy := F(x,y),</math>

ad esempio, nelle usuali operazioni di addizione e sottrazione si usa scrivere <math>x+y</math> e <math>x-y</math> invece di <math>+(x,y)</math> e <math>-(x,y).</math>

=== Estensione e restrizione di una funzione ===
Data una funzione <math>f\colon A \to Y</math> e un insieme <math>X</math> tale che <math>A \subset X</math>, si dice che la funzione <math>\tilde{f}\colon X \to Y</math> è un<nowiki>’</nowiki>''estensione di <math>f</math> all’insieme <math>X</math>'' se

:<math>\tilde{f}\circ i = f</math>

dove <math>i\colon A \to X</math> è l’[[Funzione inclusione#Inclusione|inclusione]] di <math>A</math> in <math>X</math>, data da <math>i(a) = a</math>. Si dice viceversa che ''<math>f</math> è la [[restrizione di una funzione|restrizione]] di ''<math>\tilde{f}</math>'' all’insieme <math>A</math>''.

La restrizione di una funzione <math>f</math> a un insieme <math>A</math> contenuto nel suo dominio è abitualmente indicata con <math>f\big|_A</math>.

== Funzioni di due o più variabili ==
Quando il dominio di una funzione <math>f</math> è il [[prodotto cartesiano]] di due o più [[insieme|insiemi]], e dunque la funzione agisce su <math>n</math>-uple di elementi di insiemi, allora l'immagine del vettore di questi elementi <math> \mathbf x</math> viene indicata con la notazione

:<math>f(x_i).</math>

In questo caso la funzione viene anche chiamata '''funzione di [[Vettore (matematica)|vettore]]'''. A tal proposito in fisica si parla di [[campo (fisica)|campo]].

Per esempio, si consideri la funzione di [[moltiplicazione]] che associa un vettore di due [[numeri naturali]] <math>x</math> e <math>y</math> al loro prodotto: <math>f(x,y)=xy</math>. Questa funzione può essere definita formalmente come avente per dominio <math>\N \times \N</math>, l'insieme di tutte le coppie di numeri naturali; si noti inoltre che in questo caso la funzione è simmetrica rispetto alle componenti del vettore: <math>f(x,y) = f(y,x)</math> e quindi si tratta di una '''funzione di un [[insieme]]''' <math>f\{x,y\}</math> in cui non importa cioè l'ordine degli elementi. Sono inoltre possibili anche altri raggruppamenti delle variabili: per esempio risulta estremamente importante nello studio dei [[Sistema di equazioni lineari|sistemi]] di [[equazione differenziale|equazioni differenziali]] la teoria della '''[[funzione di matrice]]''':

:<math>f(x_{ij}).</math>

=== Operazioni binarie ===
Molte [[operazione binaria|operazioni binarie]] dell'[[aritmetica]], come l'[[addizione]] e la [[moltiplicazione]], sono funzioni dal prodotto cartesiano <math>\Z \times \Z</math> a valori in <math>\Z</math>, e vengono descritte tramite la [[notazione infissa]]: si scrive cioè <math> x+y </math> (e non <math>+(x,y) </math>) per descrivere l'immagine della coppia <math> (x,y) </math> tramite l'operazione <math> + </math>.<ref>{{cita libro |autore=Francesca Dalla Volta, Marco Rigoli |editore=Pearson Paravia Bruno Mondad |titolo=Elementi di matematica discreta e algebra lineare |pagine='''p. 169''' |anno=2007 |url=http://books.google.it/books?id=LNe7WBMPAmcC&lpg=PP1&pg=PP1#v=onepage&q=&f=true}}</ref>

Questa notazione è stata generalizzata dall'[[algebra]] moderna, per definire [[struttura algebrica|strutture algebriche]] come ad esempio quella di [[gruppo (matematica)|gruppo]], come un insieme <math> X </math> dotato di alcune operazioni binarie aventi determinate proprietà.

== Funzioni a più valori ==
Se il ''codominio'' di una funzione <math>f</math> è il [[prodotto cartesiano]] di due o più insiemi, questa può essere indicata come '''[[funzione vettoriale]]'''. Tali variabili spesso vengono aggregate in un [[vettore (matematica)|vettore]]; a tal proposito in [[fisica]] si parla di [[campo vettoriale]].

Un esempio tipico è dato da una [[trasformazione lineare]] del [[piano (geometria)|piano]], ad esempio:

:<math>(x,y) \to (y,x).</math>

Una funzione è invece detta '''[[funzione polidroma|polidroma]]''' nel caso in cui esista almeno un elemento del dominio cui corrisponde più di un elemento del codominio. In effetti tali funzioni non rientrano nella definizione data inizialmente, ma in alcuni campi (ad esempio in [[analisi complessa]]) essa viene estesa proprio in questo senso. Un esempio di funzione polidroma è la [[radice quadrata]] di un [[numero reale]] positivo, che può essere descritta come una funzione

:<math>\mathbb R_+ \to \mathbb P(\R)</math>

che associa a ogni numero reale positivo l'[[insieme]] delle sue due radici quadrate. Un esempio analogo è il [[logaritmo]] definito sull'insieme dei [[numeri complessi]].<ref>{{cita libro | autore=Gazzola Ferrero Zanotti | titolo=Elementi di analisi superiore per la fisica e l'ingegneria | anno=2007 | editore=Società Editrice Esculapio | url=http://books.google.it/books?id=ZMMSm9L3NjYC&lpg=PP1&pg=PA127#v=onepage&q=&f=true |pagine='''pp. 127-128'''}}</ref>

== Tipologia ==
Nella matematica e sostanzialmente in tutte le sue applicazioni si incontrano numerosi tipi di funzioni, che si presentano anche con caratteristiche molto diverse, e che vengono classificate seguendo diversi criteri.

=== Classificazione puramente insiemistica ===
* [[Funzione iniettiva]]
* [[Funzione suriettiva]]
* [[Corrispondenza biunivoca|Funzione biunivoca]]
* [[Endofunzione]]
* [[Permutazione]]
* [[Involuzione (teoria degli insiemi)|Involuzione]]

=== Classificazione delle funzioni nell'ambito della teoria della calcolabilità ===
{{vedi anche|Teoria della calcolabilità}}
* [[Funzione ricorsiva primitiva]]
* [[Funzione calcolabile]]
* [[Funzione ricorsiva]] (secondo la [[Tesi di Church-Turing]], funzioni ricorsive e funzioni calcolabili sono la stessa cosa)
* [[Funzione ricorsiva totale]]
* [[Funzione enumerativa]]

=== Classificazione delle funzioni nell'ambito dell'analisi matematica ===
{{vedi anche|Analisi matematica}}
* [[Funzione di variabile reale#Funzioni algebriche|Funzione algebrica]] e [[Funzione di variabile reale#Funzioni trascendenti|funzione trascendente]]
* [[Funzione analitica]]
* [[Funzione antiolomorfa]]
* [[Funzione armonica]]
* [[Funzione cilindrica]]
* [[Funzione concava]]
* [[Funzione continua]]
* [[Funzione convessa]]
* [[Funzione crescente]], [[funzione decrescente]] e [[funzione monotona]]
* [[Funzione differenziabile]]
* [[Funzione integrabile]]
* [[Integrale|Funzione integrale]]
* [[Funzione lipschitziana]]
* [[Funzione liscia]]
* [[Funzione meromorfa]]
* [[Funzione olomorfa]]
* [[Funzione pari]] e [[funzione dispari]]
* [[Funzione polinomiale]]
* [[Funzione razionale fratta]]

=== Alcune funzioni notevoli ===
* [[Funzione beta di Eulero|Funzione Beta]], [[funzione Gamma]], [[funzione zeta di Riemann]]
* [[Funzione trigonometrica|Funzioni trigonometriche]]: [[Seno (trigonometria)|seno]], [[coseno]], [[Tangente (matematica)|tangente]], [[cotangente]], [[Secante (trigonometria)|secante]], [[cosecante]]
* [[Funzione identità]]
* [[Funzione esponenziale]], [[logaritmo]]

=== Funzioni di interesse probabilistico e statistico ===
* [[Funzione di ripartizione]]
* [[Funzione di probabilità]]
* [[Funzione di densità di probabilità|Funzione di densità]]
* [[Funzione generatrice dei momenti]]
* [[Funzione caratteristica (teoria della probabilità)|Funzione caratteristica]]

==Operazioni elementari su funzioni di variabile reale a valori reali==
Data una funzione <math>f(x)</math> di variabile reale a valori reali e una costante <math>c \in \mathbb{R}</math>, su di essa sono applicabili le operazioni aritmetiche elementari ovvero [[Somma algebrica|somma]], [[sottrazione]], [[moltiplicazione]], [[Divisione (matematica)|divisione]], [[elevamento a potenza]], [[radicale (matematica)|radice ''n''-esima]] ovvero:

:<math>z(x)=f(x)+c,</math>

:<math>z(x)=f(x)-c,</math>

:<math>z(x)=f(x) \cdot c,</math>

se <math>c \neq 0 </math> si ha anche

:<math>z(x)=\frac{f(x)}{c},</math>

se <math>f(x) > 0 </math> si ha anche

:<math>z(x)=f(x)^c,</math>

e se <math>c</math> intero maggiore di 1, e se <math>c</math> pari si deve avere anche <math>f(x) \geq 0 </math>, si ha anche

:<math>z(x)=\sqrt[c]{f(x)}.</math>

Date due funzioni <math>f(x)</math> e <math>g(x)</math> di variabile reale a valori reali sono applicabili le operazioni aritmetiche elementari di cui sopra ossia:

:<math>z(x)=f(x)+g(x),</math>

:<math>z(x)=f(x)-g(x),</math>

:<math>z(x)=f(x) \cdot g(x);</math>

se <math>g(x) \neq 0 </math> si ha anche

:<math>z(x)=\frac{f(x)}{g(x)};</math>

se <math>f(x) > 0</math> (o <math>f(x) \geq 0</math> nel caso in cui <math>f(x) = 0 \land g(x)>0</math>) si ha anche

:<math>z(x)=f(x)^{g(x)}.</math>

=== Composizione ===
Date due funzioni <math>f\colon X\to Y</math> e <math>g\colon Y\to Z</math> si può definire la loro '''[[Composizione di funzioni|composizione]]''': questa è definita applicando prima <math>f</math> ad <math>x</math> e quindi applicando <math>g</math> al risultato <math>f(x)</math>.

Questa nuova funzione viene denotata con <math>g\circ f</math> (si legge: "g composta f"<ref>{{cita|Bertsch, Dal Passo, Giacomelli|p. 51}}.</ref> oppure "g composto f"<ref>{{cita|Pagani, Salsa|p. 33}}.</ref>). Riconducendoci alla notazione tradizionale con le due notazioni il risultato della precedente composizione applicato all'elemento <math>x</math> del dominio si può scrivere<ref>{{Cita libro | autore=Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci | titolo=Analisi matematica | editore=Liguori Editore Srl | anno=1994 | url=http://books.google.it/books?id=ZBdhfJky_D4C&printsec=frontcover&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#v=onepage&q=&f=false| pagine='''pp. 69-70'''}}</ref>

:<math>(g\circ f)(x) = g[f(x)].</math>

===Traslazione===
Data una funzione <math>f(x)</math> di variabile reale a valori reali e una costante <math>c \in \R</math>:

* la sua traslata rispetto all'asse <math>y</math> verso destra è <math>f(x-c);</math>
* la sua traslata rispetto all'asse <math>y</math> verso sinistra è <math>f(x+c);</math>
* la sua traslata rispetto all'asse <math>x</math> verso l'alto è <math>f(x)+c;</math>
* la sua traslata rispetto all'asse <math>x</math> verso il basso è <math>f(x)-c.</math>

===Simmetria===
Data una funzione <math>f(x)</math> di variabile reale a valori reali:

* la simmetrica di <math>f(x)</math> rispetto all'asse <math>y</math> è <math>f(-x);</math>
* la simmetrica di <math>f(x)</math> rispetto all'asse <math>x</math> è <math>-f(x).</math>

== Note ==
<references />

== Bibliografia ==
* {{Cita libro|autore=Andrea Bacciotti|autore2=Fulvio Ricci|titolo=Analisi matematica|editore=Liguori Editore|anno=1995|ISBN=9788820723972}}
* {{cita libro|autore=Carlo Domenico Pagani|autore2=Sandro Salsa|titolo=Analisi matematica, volume 1|editore=Masson|anno=1995|ISBN=88-214-0079-4|cid=Pagani, Salsa}}
* {{cita libro|autore=Michiel Bertsch|autore2=Roberta Dal Passo|autore3=Lorenzo Giacomelli|titolo=Analisi matematica|editore=McGraw-Hill|anno=2011|ISBN=978-88-386-6281-2|cid=Bertsch, Dal Passo, Giacomelli}}
* [[Nicola Fusco (matematico)|Nicola Fusco]], [[Paolo Marcellini]], [[Carlo Sbordone]], ''Lezioni di Analisi Matematica Due'', Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203
* [[Paolo Marcellini]], [[Carlo Sbordone]], ''Analisi Matematica Uno'', Liguori Editore, 1998, ISBN 9788820728199
* [[Enrico Giusti]], ''Analisi Matematica 1'', Boringhieri, 2002, ISBN 9788833956848

== Voci correlate ==
* [[Dominio e codominio]]
* [[Immagine (matematica)]]
* [[Grafico di una funzione]]
* [[Funzione di variabile reale]]
* [[Funzione definita a tratti]]
* [[Parte positiva e parte negativa di una funzione]]
* [[Studio di funzione]]
* [[Storia della nozione di funzione matematica]]
* [[Analisi matematica]], [[integrale]], [[derivata]]
* [[Funzione speciale]]
* [[Funzione periodica]]
* [[Funzionale]]
* [[Funzione parziale]]
* [[Applicazione parziale]]
* [[Serie di funzioni]]
* [[Serie formale di potenze]]
* [[Equazione differenziale]]
* [[Equazione funzionale]]
* [[Teoria delle categorie]]

== Altri progetti ==
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== Collegamenti esterni ==
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{{Controllo di autorità}}
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