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Annullata la modifica 138799190 di 131.175.147.14 (discussione)

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In [[statistica]] e [[teoria della probabilità]], la '''funzione di ripartizione''' (o '''funzione cumulativa''') è una [[funzione di variabile reale]] che racchiude le informazioni su un fenomeno (un insieme di dati, un evento casuale) riguardanti la sua presenza o la sua distribuzione ''prima'' o ''dopo'' un certo punto.

== Nel calcolo delle probabilità ==
{{Vedi anche|Teoria della probabilità}}
Nel calcolo delle probabilità la '''funzione di ripartizione''', o '''funzione di probabilità cumulata''', di una [[variabile casuale]] <math>X</math> a valori [[Numero reale|reali]] è la funzione che associa a ciascun valore <math>x</math> la probabilità del seguente [[Evento (teoria della probabilità)|evento]]: "la variabile casuale <math>X</math> assume valori minori o uguali ad <math>x</math>".

In altre parole, è la funzione <math>F\colon \R \to [0,1]</math> con [[dominio (matematica)|dominio]] la retta reale e [[immagine (matematica)|immagine]] nell'[[intervallo (matematica)|intervallo]] <math>[0,1]</math> definita da

::<math>F(x)=P(X\leq x).</math>

Una funzione ''F'' è una valida funzione di ripartizione se è [[funzione crescente|non decrescente]], [[funzione continua|continua]] a destra e
:<math>F(x)\geq 0, \quad \forall x </math>
:<math>\lim_{x \to +\infty} F(x) =1</math>
:<math>\lim_{x \to -\infty} F(x) =0</math>

Una funzione di ripartizione non è necessariamente continua a sinistra (e dunque continua globalmente): se <math>X</math> è una [[variabile casuale discreta]] e <math>z</math> un punto del suo [[Supporto (matematica)|supporto]], allora <math>F</math> è una [[funzione a gradino]] e dunque
:<math>\lim_{x \to z^-}F(x)=\lim_{x \to z^-} \sum_{i=1}^n p(x_i)=\sum_{i=1}^n p(x_i)</math>
(ponendo senza restrizioni di generalità <math>x_1 < x_2 < \ldots< x_n < x < z</math>) poiché è una costante indipendente da <math>x</math>, mentre
:<math>F(z)=\sum_{i=1}^n p(x_i)+p(z)</math>
dunque essendo <math>p(z)\neq 0</math> si ha che <math>F</math> non è continua.

Più in generale, una funzione di ripartizione individua ''univocamente'' una intera [[distribuzione di probabilità]], cioè una funzione che ad ogni [[sottoinsieme]] [[insieme misurabile|misurabile]] <math>A</math> associa la probabilità che <math>X</math> cada in <math>A</math><ref>{{Cita|J. Jacod; P. Protter|Pag. 41|jacod}}.</ref>.

===Proprietà===

Si può dimostrare dalla definizione che valgono le seguenti uguaglianze, ponendo per semplicità di notazione <math>F(x^-):=\lim_{t \to x^-}F(t)</math>:

*<math>\operatorname{P}(X < x)=F(x^-)</math>
*<math>\operatorname{P}(a < X \leq b)=F(b)-F(a)</math>
*<math>\operatorname{P}(a \leq X < b)=F(b^-)-F(a^-)</math>
*<math>\operatorname{P}(a \leq X \leq b)=F(b)-F(a^-)</math>
*<math>\operatorname{P}(a < X < b)=F(b^-)-F(a)</math>
*<math>\operatorname{P}(X=b) = F(b) - F(b^-)</math>

Se <math>X</math> è una [[variabile casuale assolutamente continua]] la funzione di ripartizione di <math>X</math> può essere espressa come [[integrale#Funzione Integrale|funzione integrale]]:
:<math>F(x) = \int_{-\infty}^xf(u)du</math>
ove <math>f</math> è detta [[funzione di densità]] di <math>X</math>. Si può anche considerare la relazione inversa:
:<math>F'(x) = f(x)</math>
Se <math>X</math> è una [[variabile casuale discreta]] (ossia ammette una collezione [[insieme numerabile|numerabile]] di possibili valori <math>x_1,\ldots,x_n,\ldots</math>)
:<math>F(x) = \sum_{x_i\leq x} p(x_i)</math>
dove <math>p(x)=P(X=x)</math> è detta [[funzione di probabilità]] di <math>X</math>.

===Esempi===

[[File:Grafico v.c.uniforme.png|thumb|Grafico della funzione di ripartizione relativa alla distribuzione uniforme]]
Se <math>X</math> è la variabile aleatoria ''risultato del lancio di un dado a sei facce'' si ha
:<math>F(x)=\begin{cases} 0 & x<1 \\ \lfloor x\rfloor /6 & 1\leq x < 6 \\ 1 & x\geq 6 \end{cases}</math>
dove con <math>\lfloor x\rfloor</math> si indica la [[parte intera]] di x.

Se <math>X</math> è la [[variabile casuale uniforme continua]] in <math>[0,1]</math> si ha
:<math>F(x)=\begin{cases} 0 & x<0 \\ x & 0\leq x < 1 \\ 1 & x\geq 1 \end{cases}</math>.

===Funzione di sopravvivenza===
In alcuni modelli è più utile analizzare la probabilità che un certo dato numerico valga ''più'' del valore <math>x</math> (come nella vita di un organismo, biologico o meccanico): questi casi sono trattati dalla branca chiamata [[analisi di sopravvivenza]]. Si definisce allora la '''funzione di sopravvivenza''' <math>S</math> (dal termine [[lingua inglese|inglese]] ''survival'') come il complemento della funzione di ripartizione:

:<math>S(x)=P(X>x)=1-F(x)</math>

Nei casi rispettivamente continuo e discreto, valgono naturalmente delle identità speculari a quelle della ripartizione:
:<math>S(x)=\int_x^{+\infty} f(t)dt</math>
e
:<math>S(x)=\sum_{t>x} p(t).</math>

Ogni funzione di sopravvivenza <math>S(x)</math> è una '''[[funzione monotona]] decrescente''', vale a dire <math>S(a) \le S(b)</math> per <math>a > b.</math>

Il [[tempo]] <math>x=0</math> rappresenta l'origine, in genere l'inizio di uno studio o l'inizio del funzionamento di alcuni sistemi.



=== Variabili aleatorie multivariate ===
Più in generale la funzione di ripartizione di una [[variabile aleatoria]] <math>X</math> a valori in <math>\mathbb R^k</math> è la funzione <math>F(x)</math> con dominio <math>\mathbb R^k</math> e codominio l'intervallo <math>[0,1]</math> definita da

:<math>F(x_1,\ldots,x_k)=P((X_1\leq x_1) \cap (X_2\leq x_2) \cap \ldots \cap (X_k\leq x_k))</math>

dove <math>X_i</math> sono le componenti di <math>X</math>.

Questa funzione possiede la proprietà di essere continua a destra [[continuità separata|separatamente]] per ogni variabile. Valgono inoltre le seguenti formule, derivanti dalla definizione:
*Per qualsiasi <math>i</math>, <math>\lim_{x_i \to -\infty}F(x_1,\ldots,x_k)=0</math>
*<math>F</math> è monotona crescente separatamente in ogni variabile, cioè se <math>c > 0</math>, <math>F(x_1,\ldots,x_i+c,\ldots,x_k) \geq F(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_k)</math>
*se <math>k=2</math> per semplicità, <math>P(a < X_1 \leq b, c < X_2 \leq d)=F(b,d)+F(a,c)-F(a,d)-F(b,c)</math>
*<math>\lim_{x_i \to +\infty}F(x_1,\ldots,x_k)=G(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_k)</math> dove <math>G</math> è la funzione di ripartizione della variabile <math>(k-1)</math>-variata <math>(X_1,X_2,\ldots,X_{i-1},X_{i+1},\ldots,X_k)</math>.

Da quest'ultima proprietà viene anche l'uguaglianza
:<math>\lim_{x_k \to +\infty}\lim_{x_{k-1} \to +\infty}\ldots\lim_{x_1 \to +\infty}F(x_1,x_2,\ldots,x_k)=1</math>
e l'affermazione vale ovviamente anche per ogni [[permutazione]] degli indici <math>i</math>.

== In statistica descrittiva ==
{{Vedi anche|Statistica descrittiva}}
In statistica la '''funzione di ripartizione empirica''', o '''funzione di distribuzione cumulata''', viene usata per descrivere fenomeni quantitativi o comunque descritti con valori misurati su [[Carattere (statistica)|scale ordinali]], [[Carattere (statistica)|intervallari]] o [[Carattere (statistica)|proporzionali]], ma non se misurati con una [[Carattere (statistica)|scala nominale]].

La funzione di ripartizione viene indicata solitamente con <math>F(x)</math> e rappresenta il numero di osservazioni del fenomeno minori o uguali del valore <math>x</math>.

Se <math>x_1,\ldots, x_n</math> sono le osservazioni (ordinate in senso crescente), con [[frequenza relativa|frequenze relative]] <math>f_1,\ldots, f_n</math> la funzione di ripartizione ha espressione analitica
:<math>F(x)=\begin{cases}0 & x < x_1 \\F_i=\sum_{j \leq i}f_j & x_i \leq x < x_{i+1} \\ 1 & x \geq x_n \end{cases}</math>
Le <math>F_i</math> sono dette [[Frequenza cumulata|frequenze relative cumulate]].

==Note==
<references />

==Bibliografia==
* Giorgio Dall'Aglio, ''Calcolo delle probabilità'', Zanichelli, Bologna, 2003
*{{cita libro | cognome= Jacod | nome= Jean |coautori= Philip Protter | titolo= Probability Essentials| url= https://archive.org/details/probabilityessen0000jaco | editore= Springer| anno= 2000|isbn= 3-540-43871-8|cid =jacod|lingua= en}}

==Voci correlate==
* [[Distribuzione (statistica)]]
* [[Funzione càdlàg]]
* [[Funzione di densità di probabilità]]
* [[Funzione caratteristica (teoria della probabilità)]]
* [[Funzione di probabilità]]
* [[Integrale]]
* [[Percentile]]
* [[Quantile]]
* [[Statistica]]
* [[Teoria della probabilità]]
* [[Variabile casuale]]
* [[Histogram matching]]

== Altri progetti ==
{{interprogetto}}

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{Probabilità}}
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|matematica|statistica}}

[[Categoria:Statistica matematica]]
[[Categoria:Teoria della probabilità]]

Funzione di ripartizione - Revision history

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