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2025-03-18T19:08:20Z

I cinque postulati: no wlink in titolo di sezione

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[[File:Dodecahedron.gif|thumb|Dodecaedro]]
La '''geometria euclidea''' è un sistema matematico attribuito allo scienziato [[Alessandria d'Egitto|alessandrino]] [[Euclide]], che la descrisse nei suoi ''[[Elementi di Euclide|Elementi]]''. La sua geometria consiste nell'assunzione di cinque semplici e intuitivi concetti, detti [[assiomi]] o [[postulati]], di altre proposizioni ([[teorema|teoremi]]) che non abbiano alcuna contraddizione con essi. Questa organizzazione della geometria permise l'introduzione della [[retta]], del [[Piano (geometria)|piano]], della [[lunghezza]] e dell'[[area]].

Sebbene molte delle conclusioni di Euclide fossero già conosciute dai matematici,<ref>{{cita libro|autore=Eves, Howard|anno=1963|titolo=A Survey of Geometry|url=https://archive.org/details/surveyofgeometry0001eves|editore=Allyn and Bacon|p=[https://archive.org/details/surveyofgeometry0001eves/page/19 19]|volume=1}}</ref> egli mostrò come queste potessero essere organizzate in una maniera [[Deduzione|deduttiva]] e con un [[Sistema formale|sistema logico]].<ref>{{cita libro|autore=Eves, Howard|anno=1963|titolo=A Survey of Geometry|url=https://archive.org/details/surveyofgeometry0001eves|editore=Allyn and Bacon|p=[https://archive.org/details/surveyofgeometry0001eves/page/10 10]|volume=1}}</ref> Gli ''Elementi'' di Euclide incominciano con un'analisi della [[geometria piana]], attualmente insegnata nelle [[scuole secondarie]] e utilizzata come primo approccio alle [[Dimostrazione matematica|dimostrazioni matematiche]], per poi passare alla [[geometria solida]] in [[tre dimensioni]].

Dopo Euclide sono nati particolari tipi di geometrie che non necessariamente rispettano i cinque postulati; tali geometrie sono definite ''[[geometrie non euclidee|non euclidee]]''.

== I cinque postulati ==
I cinque [[Assioma (matematica)|postulati]] (o assiomi) di [[Euclide]] sono:<ref>{{cita|Euclide|p. 7}}.</ref>
# ''Congiungendo due [[Punto (geometria)|punti]] qualsiasi si ottiene un [[segmento]] di [[retta]];''
# ''Si può prolungare un [[segmento]] oltre i due [[Punto (geometria)|punti]] indefinitamente;''
# ''Dato un [[Punto (geometria)|punto]] e una [[lunghezza]], è possibile descrivere un [[cerchio]];''
# ''Tutti gli [[Angolo retto|angoli retti]] sono [[Congruenza (geometria)|congruenti]] tra loro;''
# ''Se una [[retta]] che taglia altre due rette determina dallo stesso [[Lato (geometria)|lato]] [[Angolo|angoli interni]] la cui somma è minore di due [[Angolo retto|angoli retti]], prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli hanno somma minore di due retti.''
[[File:Euclid's postulates.png |thumb|right|I cinque postulati di Euclide e la formulazione del quinto che oggi si preferisce utilizzare]]
Si nota subito una differenza tra i primi quattro, immediatamente evidenti e praticamente verificabili col semplice uso di [[matita]], [[Riga (strumento)|righello]] e [[Compasso (strumento)|compasso]], e il quinto, che non è caratterizzato dall'immediatezza pratica dei primi, mentre presenta una formulazione molto più involuta. Infatti egli dimostra le prime 28 proposizioni del primo [[Elementi (Euclide)|libro degli ''Elementi'']] senza fare uso del quinto postulato.

Il quinto postulato è equivalente all'assioma seguente, oggi più usato:

:''Per un punto esterno a una retta data passa una e una sola retta [[Parallelismo (geometria)|parallela]] a questa.''

Sulla violazione di questi postulati, e soprattutto sul quinto, si fondano le [[geometrie non euclidee]], come ad esempio la [[geometria iperbolica]].

=== Corollari ===
Dagli [[assioma (matematica)|assiomi]] si possono dedurre delle relazioni di [[Incidenza (geometria)|incidenza]] tra punti, rette e [[Piano (geometria)|piani]]. Ad esempio:
* Per un punto passano infinite rette.
* Per due punti distinti passa una e una sola retta.
* Per una retta nello spazio passano infiniti piani.
* Per tre punti non allineati nello spazio passa un solo piano.
* Per tre punti allineati passa una e una sola retta.

Si definiscono quindi altre nozioni, quali ad esempio:
* Due rette nello spazio si dicono ''[[Complanarità|complanari]]'' quando giacciono sullo stesso piano.
* Se un punto divide una retta, ciascuna delle due parti si dice [[semiretta]]: questa sarà dotata di un'origine, ma non di una fine.
* La parte di retta delimitata da due punti è detta [[segmento]].

=== Sul V postulato ===
{{Vedi anche|V postulato di Euclide}}
[[File:Parallel postulate en.svg|thumb|right|Il quinto postulato di Euclide]]
Nel [[1899]], [[David Hilbert]] (nato a [[Königsberg]] il 23 gennaio del 1862 e morto a [[Gottinga]] il 14 febbraio del 1943) propone un [[Assiomi di Hilbert|sistema assiomatico corretto per la geometria]]. Così facendo si cercava di dimostrare per assurdo la correttezza del quinto postulato, e poi perché nella versione originale sono impliciti alcuni altri assunti: ad esempio, nel primo assioma, è implicito che la retta esista e sia una sola, e che esistano due punti distinti; nel secondo, che una retta possegga più di un punto; nel terzo, che nel [[piano cartesiano|piano]] ci siano almeno tre punti non allineati, che si possa riportare un [[segmento]] di retta per [[Traslazione (geometria)|traslazione]] senza deformarlo, e via di questo passo.

Venne così pubblicato ''[[Grundlagen der Geometrie]]'', in cui veniva fornito un sistema assiomatico completo, fondato su 21 assiomi, per la geometria euclidea. Fatto questo, subito venne dimostrato da [[Henri Poincaré]] che la [[geometria iperbolica]], indagata da [[Giovanni Girolamo Saccheri]], fondata correttamente da [[Nikolaj Ivanovič Lobačevskij]] e confermata con un modello da [[Eugenio Beltrami]], poteva essere messa in corrispondenza con la geometria euclidea, in modo tale che un'eventuale autocontraddizione dell'una avrebbe causato la rovina anche dell'altra.

== Il piano euclideo ==
{{Vedi anche|Retta|Semiretta|Segmento|Poligonale|Angolo|Semipiano|Poligono}}

Per una completa comprensione della geometria euclidea è necessario definire le basi su cui si regge, i [[Concetto primitivo|concetti primitivi]]:
* '''[[Punto (geometria)|Punto]]''' (un'unità del piano senza dimensione, intuitivamente immaginabile come un granello di sabbia)
* '''[[Retta]]''' (immaginabile come una linea nel piano di lunghezza infinita)[[File:Retta.svg|destra|350px]]
* '''[[Piano (geometria)|Piano]]''' (immaginabile come una superficie piana infinita)<ref>{{cita|Sasso|p. 5}}.</ref>

Altri importanti concetti sono: la [[semiretta]] (una delle due parti in cui una retta resta divisa da un punto), il [[segmento]] (la parte di retta compresa tra due punti, inclusi gli stessi), il [[semipiano]] (una delle due parti in cui il piano resta diviso da una retta, definita ''origine'' o ''frontiera'') e l'[[angolo]] (una delle due parti di piano delimitate da due semirette aventi origine in comune).<ref>{{cita|Sasso|pp. 9-10}}.</ref> Si definisca, infine, il ''[[poligono]]'' come una [[poligonale]] chiusa e non intrecciata e la ''circonferenza'' come l'insieme dei punti P che hanno distanza ''r'' (con ''r''>0) da un determinato punto O (detto ''centro'').
[[File:Angle description.svg|thumb|L'angolo comprende una delle due parti di piano, la semiretta ''a'' (passante per B e C), la semiretta ''b'' (passante per B e A) e il vertice B. Esistono due modi differenti, ma di uguale significato, per indicare gli angoli: <math>\widehat{\rm ABC}</math> oppure ∠ABC.<ref>È da notare la posizione della B, in mezzo alle lettere di punti posti sui lati, che corrisponde al vertice dell'angolo; riguardo alla figura sopra, la scrittura ∠CBA sarebbe stata comunque corretta anche se avesse indicato il semipiano che si estende verso destra (cioè l'angolo concavo).</ref>]]

Con queste premesse in particolare Euclide comincia le sue proposizioni definendo il [[Criteri di congruenza dei triangoli#Primo criterio|primo criterio di congruenza]] (proposizione 4), il [[Criteri di congruenza dei triangoli#Secondo criterio|secondo criterio di congruenza]] (proposizione 6) e il [[Criteri di congruenza dei triangoli#Terzo criterio|terzo criterio di congruenza]] (proposizione 8).<ref>{{cita|Euclide|pp. 8-14}}.</ref> Ognuno dei criteri rispetta gli assiomi di congruenza:
# ''Proprietà riflessiva'': Ogni figura del piano è congruente a sé stessa (in simboli: <math>A \cong A</math>)
# ''Proprietà transitiva'': Se una certa figura A è congruente a un'altra figura B e la figura B è congruente alla figura C, allora la figura A è congruente alla figura C (in simboli: Se <math>A \cong B \land B \cong C\Rightarrow A \cong C</math>)
# ''Proprietà simmetrica'': Se una certa figura A è congruente a B allora B è congruente ad A (in simboli: <math>A \cong B \Rightarrow B \cong A</math>)<ref>{{cita|Sasso|p. 32}}.</ref>

Su queste proprietà Euclide fu in grado di definire la [[bisettrice]] di un angolo e la sua costruzione (proposizione 9), e di dimostrare la congruenza di due angoli opposti al vertice, cioè angoli definiti da due rette, che si tagliano reciprocamente, e che sono tra di loro opposti (proposizione 15).<ref>{{cita|Euclide|p. 19}}.</ref>

=== Definizione di teorema ===
{{Vedi anche|Teorema|Dimostrazione}}
Una parte molto importante della geometria euclidea è costituita dai teoremi. Ogni teorema è costituito da tre parti principali: le [[ipotesi]] (i dati di partenza, che non si possono contraddire), la [[tesi]] (ciò che si deve dimostrare) e la [[dimostrazione]] (l'insieme di tutti i ragionamenti utilizzati per confermare, o smentire, la tesi).

== Note ==
<references />

== Bibliografia ==
;Fonti primarie
* {{cita libro|autore=Euclide|titolo=Elementi|url=http://farside.ph.utexas.edu/Books/Euclid/Elements.pdf|anno=2008|ISBN=978-0-6151-7984-1|curatore=Richard Fitzpatrick|lingua=grc, en|cid=Euclide}}
;Fonti secondarie
* {{cita libro|autore=Leonardo Sasso|titolo=La matematica a colori. Geometria|città=Torino|editore=Petrini|anno=2014|ISBN=978-88-494-1883-5|cid=Sasso}}

== Voci correlate ==
* [[V postulato di Euclide]]
* [[Geometria algebrica]]
* [[Geometria descrittiva]]
* [[La geometria del compasso]]
* [[Geometrie non euclidee]]
* [[Geometria iperbolica]]
* [[Geometria ellittica]]
* [[Geometria sferica]]
* [[Geometria assoluta]]
* [[Geometria frattale]]
* [[Spaziotempo]]

== Altri progetti ==
{{interprogetto|preposizione=sulla}}

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{Geometria}}
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|matematica}}

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