Crivello di Eratostene

Template:F Il crivello di Eratostene è un antico algoritmo per il calcolo dei numeri primi fino a un certo numero prefissato. Deve il proprio nome al matematico greco antico Eratostene di Cirene, che ne fu l'ideatore. È ancora utilizzato per il calcolo dei numeri primi da molti programmi per computer, per via della sua semplicità. Pur non essendo particolarmente rapido ed efficiente, infatti, è piuttosto semplice da implementare in un qualsiasi linguaggio di programmazione.

Algoritmo

Animazione del crivello

Animazione del crivello

Il procedimento è il seguente: si scrivono tutti i numeri naturali a partire da <math>2</math> fino <math>n</math> in un elenco, detto setaccio. In seguito si cancellano (setacciano) tutti i multipli del primo numero del setaccio escluso lui stesso. Si prende poi il primo numero non cancellato maggiore di <math>2</math> e si cancellano tutti i suoi multipli eccetto lui, e si ripete questa operazione fino a che il primo numero non cancellato maggiore di <math>2</math> non presenta multipli tra i numeri rimasti nell'elenco. I numeri che restano sono i numeri primi minori o uguali a <math>n</math>.

È come se si utilizzassero dei setacci a maglie via via più larghe: il primo lascia passare solo i numeri non multipli di <math>2</math>, il secondo solo i non multipli di <math>3</math>, e così via.

Nel caso <math>n=50</math>, ad esempio, il procedimento di setacciatura si conclude con il numero <math>7</math> perché <math>7</math> è il massimo numero primo il cui quadrato non supera <math>50</math>; si può provare che il procedimento di setacciatura per ricercare i primi fino a un certo numero <math>n</math> termina sempre quando si raggiunge la radice quadrata di <math>n</math>. Ogni numero <math>a</math> del setaccio iniziale, contenente tutti i numeri naturali non superiori a un dato <math>n</math>, cade dal setaccio che corrisponde al più piccolo dei suoi divisori primi.

Se indichiamo con <math>p</math> il più piccolo divisore primo di <math>a</math> si ha:

<math>a = p \cdot r \text{ con } r \ge p.</math>

Se ne deduce che <math>a = p \cdot r \ge p \cdot p = p^2</math>, da cui <math>p</math> è sempre minore o uguale alla radice quadrata di <math>a</math>.

Una implementazione dell'algoritmo di Eratostene in Haskell che calcola l'n-esimo numero primo: <syntaxhighlight lang="haskell"> -- Una lista infinita di numeri primi prodotta -- attraverso il metodo del crivello di Eratostene. crivello :: [Int] crivello = crivello' [2..]

 where
   crivello' :: [Int] -> [Int]
   crivello' (p:ps) = p : crivello' [i | i <- ps, mod i p /= 0]
   crivello' _ = undefined

-- Estrai il n-esimo numero primo. eratostene :: Int -> Int eratostene n = crivello !! n </syntaxhighlight>

Esempio

Per trovare tutti i numeri primi minori di <math>30</math>, si può procedere come segue:

• Scrivere la lista di tutti i numeri interi da <math>2</math> a <math>30</math>:

  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

• Cancellare dalla lista i multipli di <math>2</math>:

  2  3     5     7     9    11    13    15    17    19    21    23    25    27    29

• Il primo numero ancora presente nella lista dopo il <math>2</math> è il <math>3</math>; cancellare dalla lista i rimanenti multipli di <math>3</math>:

  2  3     5     7          11    13          17    19          23    25          29

• Il primo numero ancora presente nella lista dopo il <math>3</math> è il <math>5</math>; cancellare dalla lista i rimanenti multipli di <math>5</math>:

  2  3     5     7          11    13          17    19          23                29

• Il primo numero ancora presente nella lista dopo il <math>5</math> è il <math>7</math>: non essendoci più nessun multiplo di <math>7</math> nella lista, i numeri restanti sono i numeri primi cercati.