Coefficiente binomiale

Template:NN In matematica, il coefficiente binomiale <math> \tbinom{n}{k} </math> (che si legge "<math>n</math> su <math>k</math>") è un numero intero non negativo definito dalla seguente formula

<math> \binom{n}{k} = C(n ; k) = \frac{n!}{k! \cdot \left( n - k \right)!},\qquad n,k\in\N, \, 0\le k\le n,</math>

dove <math>n!</math> è il fattoriale di <math>n</math>. Può essere calcolato anche facendo ricorso al triangolo di Tartaglia. Esso fornisce il numero delle combinazioni semplici di <math>n</math> elementi di classe <math>k</math>.

Per esempio:

<math>{5\choose 3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{3\cdot2\cdot1\cdot(2\cdot1)}={120\over 12}=10 </math>

è il numero di combinazioni di <math>5</math> elementi presi <math>3</math> alla volta, evitando ripetizioni ma indipendentemente dall'ordine di estrazione.

Proprietà

Il coefficiente binomiale gode delle seguenti proprietà:

1) <math>{n \choose 0} = {n \choose n} = 1.</math>

Dimostrazione formale:

<math>{n \choose 0} = {{n!}\over{0!(n-0)!}} = {n! \over n!} = 1</math>

<math>{n \choose n} = {{n!}\over{n!(n-n)!}}= {n! \over n!} = 1.</math>

Dimostrazione combinatoria: le combinazioni di <math>n</math> elementi di lunghezza <math>0</math> o <math>n</math> sono evidentemente una sola: rispettivamente l'insieme vuoto o l'intero insieme di <math>n</math> elementi.

<math>{n \choose 1} = {n \choose n-1} = n.</math>

Dimostrazione formale:

<math>{n \choose 1} = {{n!}\over{1!(n-1)!}} = {{n!}\over{(n-1)![n-(n-1)]!}} = {n \choose n-1} = n.</math>

Dimostrazione combinatoria: vi sono evidentemente <math>n</math> modi per scegliere un elemento tra <math>n</math> o per tralasciarne uno.

<math>{n \choose k} = {n \choose n-k} </math>

Dimostrazione formale:

<math>{n \choose k} = {{n!}\over{k!(n-k)!}} = {{n!}\over{(n-k)![n-(n-k)]!}} = {n \choose n-k}.</math>

Dimostrazione combinatoria: le scelte di <math>k</math> elementi sono in corrispondenza biunivoca con i sottoinsiemi degli <math>n-k</math> elementi tralasciati.

<math>{n+1 \choose k+1} = {n \choose k+1} + {n \choose k} </math>, ovvero: <math>{n \choose k} = {n-1 \choose k} + {n-1 \choose k-1}.</math>

(proprietà che permette di costruire i coefficienti binomiali con il triangolo di Tartaglia. Inoltre, tale proprietà può essere utile per dimostrare che <math>{n \choose k}</math> è un numero intero non negativo usando il principio d'induzione su <math>n</math>, con l'ipotesi per cui <math>{n \choose k}</math> appartiene ai numeri interi non negativi per ogni <math>k\in\N </math> tale che <math> 0\le k\le n</math>, e come tesi che lo stesso valga per <math>{n+1 \choose k}</math>; per <math>n=1</math> abbiamo che <math>{1 \choose 0} = {1 \choose 1} =1\in\N</math>).

Dimostrazione formale:

<math>{n \choose k+1} + {n \choose k} = {{n!}\over{(k+1)!(n-k-1)!}}+{{n!}\over{k!(n-k)!}}</math>

considerando il fatto che

<math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)!</math>, ed allo stesso modo <math>(k+1)!=(k+1)k!</math>

si ha

<math>{n \choose k+1} + {n \choose k} = {{n!}\over{(k+1)k!(n-k-1)!}}+{{n!}\over{(n-k)k!(n-k-1)!}} = </math>

e quindi

<math>{n \choose k+1} + {n \choose k} = {(n-k+k+1){n!}\over{(k+1)k!(n-k)(n-k-1)!}}</math>

<math>{n \choose k+1} + {n \choose k} = {{(n+1)!}\over{(k+1)!(n-k)!}} = {n+1 \choose k+1}</math>

ovvero la tesi.

Dimostrazione combinatoria: Per calcolare il numero di combinazioni semplici di <math>n+1</math> elementi di lunghezza <math>k+1</math>, scegliamo uno degli <math>n+1</math> elementi, che chiameremo Pippo, e dividiamo le combinazioni in due classi: quelle che non contengono Pippo e quelle che lo contengono. Le cardinalità delle due classi sono evidentemente date dai due termini del secondo membro della formula che volevamo dimostrare.

<math>2^n = {n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} + \ldots + {n \choose n-1} + {n \choose n} =\sum_{k=0}^n {n \choose k}.</math>

Dimostrazione formale:

partendo dal teorema binomiale abbiamo:

<math> 2^n =(1 + 1)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} 1^{(n-k)} 1^{k} = \sum_{k=0}^n {n \choose k}</math>

ovvero la tesi.

Dimostrazione combinatoria:

<math> 2^{n}</math> è il numero dei sottoinsiemi di un insieme di <math>n</math> elementi. Possiamo dividere tali sottoinsiemi in classi, ponendo in ogni classe quelli di una data cardinalità. Poiché i sottoinsiemi di cardinalità <math>k</math> sono proprio <math>{n \choose k}</math>, si ottiene subito la tesi.

Applicazioni

Il teorema binomiale, o binomio di Newton, utilizza il coefficiente binomiale per esprimere lo sviluppo di una potenza <math>n</math>-esima di un binomio qualsiasi secondo la seguente formula:

<math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^{k}.</math>

Il numero di diagonali di un poligono convesso di <math>n</math> lati può essere espresso secondo la seguente formula: <math>d={n \choose 2}-n=\frac{n(n - 3)}{2}</math>
Dato un insieme <math>S</math>, tale che <math>|S|=n</math>, si utilizza il coefficiente binomiale per calcolare la cardinalità dell'insieme delle parti di <math>S</math>, <math>\mathcal{P}(S)</math>:

<math>|\mathcal{P}(S)|=\sum_{k=0}^n {n \choose k}=2^n.</math>

La potenza <math>n</math>-esima di un numero intero <math>x</math> può essere espressa con la sommatoria di tutte le possibili produttorie di <math>x-1</math> coefficienti binomiali <math>{n \choose a} {a \choose b} {b \choose c} \ldots {i \choose j} {j \choose k} {k \choose l} </math>, con <math>n \ge a \ge b \ge c \ge \ldots \ge i \ge j \ge k \ge l\ge0</math>. Esempio:

<math>4^3 = {3 \choose 3} {3 \choose 3} {3 \choose 3} + {3 \choose 3} {3 \choose 3} {3 \choose 2} + {3 \choose 3} {3 \choose 3} {3 \choose 1} + {3 \choose 3} {3 \choose 3} {3 \choose 0} + {3 \choose 3} {3 \choose 2} {2 \choose 2} + \ldots + {3 \choose 1} {1 \choose 1} {1 \choose 0} + {3 \choose 1} {1 \choose 0} {0 \choose 0} + {3 \choose 0} {0 \choose 0} {0 \choose 0}.</math>

Estensioni

Si può estendere il coefficiente binomiale al caso in cui <math>k</math> sia negativo, oppure maggiore di <math>n</math>, ponendo:

<math>{n \choose k}=0,\qquad n,k\in\Z, n>0, k<0</math> oppure <math>k>n.</math>

Si può anche estendere il coefficiente ai numeri reali. A tale scopo, può convenire iniziare con l'osservazione che il coefficiente binomiale è anche il rapporto tra il numero delle funzioni iniettive da un insieme di cardinalità <math>k</math> in uno di cardinalità <math>n</math> (ovvero il numero delle disposizioni semplici di <math>n</math> oggetti di classe <math>k</math>) ed il numero delle permutazioni di <math>k</math> oggetti:

<math>{n \choose k}=\frac{(n)_k}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}.</math>

Si può porre:

<math>(a)_k=a(a-1)\cdots(a-k+1) = \prod_{i=0}^{k-1}(a-i), \qquad a\in\Complex, k\in\Z, k\ge 0,</math>

ad esempio,

Con tale convenzione, si ha:

<math>{a \choose k}=\frac{(a)_k}{k!}\qquad a\in\Complex; k\in\Z, k\ge 0,</math>

ad esempio:

<math>{4{,}5 \choose 3}=\frac{(4{,}5)_3}{3!}=\frac{39{,}375}{6}=6{,}5625.</math>

Infine, esiste una generalizzazione del coefficiente binomiale che coinvolge un parametro <math>q</math>, denominata coefficiente binomiale gaussiano (talvolta semplicemente <math>q</math>-binomiale).

Caso particolare

Si può notare che per <math>k=2</math> il coefficiente binomiale equivale alla somma dei primi <math>n-1</math> numeri naturali:

<math>{n \choose 2} = \frac{n!}{(n-2)!2!} = \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!2} = \frac{n(n-1)}{2} = \sum_{i=1}^{n-1} i.</math>

Bibliografia

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Saunders Mac Lane, Garrett Birkhoff, Algebra, Milano, Mursia 1998

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