View source for Formula di de Moivre

La '''formula di de Moivre''' è una delle basi dell'analisi dei numeri complessi ed è legata al [[piano complesso]], ovverosia alla rappresentazione dei numeri complessi su un piano, considerando l'asse <math>x</math> l'asse dei reali e l'asse <math>y</math> l'asse degli immaginari. Essa permette di esprimere la potenza di un numero complesso nella sua forma trigonometrica.

:<math>(\cos x + i \sin x)^n = \cos(nx) + i\sin(nx),</math>

valida per ogni numero reale <math>x</math>, con <math>n</math> intero e <math>i</math> [[unità immaginaria]], è un importante contributo alla [[matematica]] in quanto collega i [[numeri complessi]] alla [[trigonometria]]. Applicando al membro sinistro lo [[teorema binomiale|sviluppo del binomio]] e uguagliando le parti reali e le parti immaginarie dell'identità nella nuova forma, si ottengono espressioni utili per <math>\cos(nx)</math> e <math>\sin(nx)</math> in termini di <math>\sin(x)</math> e <math>\cos(x)</math>. Inoltre si può usare la formula per trovare le espressioni esplicite per le radici <math>n</math>-esime dell'unità, cioè i valori per i numeri complessi <math>z</math> tali che <math>z^n=1</math>.

[[Abraham de Moivre]] era un buon amico di [[Isaac Newton|Newton]]. Nel [[1698]] scrisse che la formula era nota a Newton perlomeno già nel [[1676]]. La formula di de Moivre può essere derivata dalla [[formula di Eulero]], anche se la precede storicamente, tramite lo [[serie di Taylor|sviluppo in serie di Taylor]] 

:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x,</math>

e dalla legge esponenziale

:<math>\left(e^{ix}\right)^{n} = e^{inx}.</math>

== Dimostrazione per induzione ==
Distinguiamo i tre casi relativi a <math>n>0</math>, <math>n=0</math> e <math>n<0</math>.

Per <math>n>0</math> si procede per [[Induzione matematica|induzione]]. Per <math>n=1</math> la formula è una semplice uguaglianza di un'espressione con se stessa. Come ipotesi induttiva assumiamo che sia valida per qualche intero positivo <math>k</math>, cioè assumiamo

:<math>(\cos x + i\sin x)^k = \cos(kx) + i \sin(kx).</math>

Consideriamo poi il caso <math>n=k+1</math>:

:<math>(\cos x+i\sin x)^{k+1}</math>
:<math>= (\cos x+i\sin x)(\cos x+i\sin x)^{k}</math>
:<math>= \left[\cos(kx)+i\sin(kx)\right](\cos x+i\sin x)</math> (per l'ipotesi induttiva)
:<math>= \cos(kx)\cos x - \sin(kx)\sin x + i\left[\cos(kx)\sin x + \sin(kx)\cos x\right]</math>
:<math>= \cos\left[(k+1)x\right] + i\sin\left[(k+1)x\right]</math> (per le [[Trigonometria#Formule_di_addizione|formule di addizione]] di seno e [[coseno]]).

L'ultima identità dice che la formula, se vale per <math>n=k</math> allora è valida per <math>n=k+1</math> e per il Principio di induzione matematica si conclude che la formula vale per tutti gli <math>n</math> interi positivi.

Per <math>n=0</math> la formula si riduce alla semplice identità <math>\cos(0x) + i\sin(0x) = 1 + i0 = 1</math>, e <math>z^{0} = 1</math>.

Per <math>n<0</math>, si considera l'intero positivo <math>m=-n</math>. Di conseguenza
:<math>(\cos x + i\sin x)^{n} = (\cos x + i\sin x)^{-m}</math>

:<math>=\frac{1}{(\cos x + i\sin x)^{m}} = \frac{1}{(\cos mx + i\sin mx)}</math>, per quanto vale per <math>n>0</math>; razionalizzando il denominatore

:<math>=\frac{\cos(mx) - i\sin(mx)}{\cos^2(mx) + \sin^2(mx)} = \cos(mx) - i\sin(mx),</math> e, per le proprietà trigonometriche di seno e coseno,
:<math>=\cos(-mx) + i\sin(-mx)\, = \cos(nx) + i\sin(nx)</math>

Dunque la formula è vera per tutti i valori interi di <math>n</math>.

== Generalizzazione ==
La formula di de Moivre viene generalizzata nel modo seguente:

Se <math>z</math> e <math>w</math> sono numeri complessi, allora

:<math>\left(\cos z + i\sin z \right)^w</math>

assume più di un valore, mentre

:<math>\cos(wz) + i\sin(wz)</math>

ha un solo valore. Comunque sia, <math> \cos (wz) + i \sin (wz) </math> è uno dei valori di <math>\left( \cos z + i \sin z \right)^w.</math>

== Radici di un numero complesso ==
Se <math>n</math> è un intero positivo, le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso <math>z</math> sono esattamente <math>n</math>, calcolabili tramite l'applicazione inversa della formula di de Moivre, che, se il modulo e l'argomento di <math>z</math> sono rispettivamente <math>r</math> e <math>\theta</math>, assume la seguente forma:<ref>{{Cita web|lingua=it-it|autore=Fulvio Sbranchella|url=https://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/numeri-complessi/760-calcolare-le-radici-di-un-numero-complesso.html|titolo=Radici di un numero complesso|sito=YouMath|data=2013-04-29}}</ref>

:<math>\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right )+i\sin\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)\right),\qquad k=0, 1,\ldots,n-1.</math>

== Note ==
<references />

== Bibliografia == 
* {{cita libro|nome=Milton |cognome=Abramowitz|wkautore= Milton Abramowitz |coautori=[[Irene Stegun|Irene A. Stegun]] |titolo=[[Handbook of Mathematical Functions]] |anno=1964 |editore=Dover Publications |città=New York |isbn=0-486-61272-4 |pagine=74 }} 

== Voci correlate ==
* [[Abraham de Moivre]]
* [[Isaac Newton]] 
* [[Eulero]]
* [[Numeri complessi]]
* [[Trigonometria]]
* [[Polinomi di Chebyshev]]

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Analisi complessa]]
[[Categoria:Numeri complessi]]
[[Categoria:Trigonometria]]