Formula di de Moivre

La formula di de Moivre è una delle basi dell'analisi dei numeri complessi ed è legata al piano complesso, ovverosia alla rappresentazione dei numeri complessi su un piano, considerando l'asse <math>x</math> l'asse dei reali e l'asse <math>y</math> l'asse degli immaginari. Essa permette di esprimere la potenza di un numero complesso nella sua forma trigonometrica.

valida per ogni numero reale <math>x</math>, con <math>n</math> intero e <math>i</math> unità immaginaria, è un importante contributo alla matematica in quanto collega i numeri complessi alla trigonometria. Applicando al membro sinistro lo sviluppo del binomio e uguagliando le parti reali e le parti immaginarie dell'identità nella nuova forma, si ottengono espressioni utili per <math>\cos(nx)</math> e <math>\sin(nx)</math> in termini di <math>\sin(x)</math> e <math>\cos(x)</math>. Inoltre si può usare la formula per trovare le espressioni esplicite per le radici <math>n</math>-esime dell'unità, cioè i valori per i numeri complessi <math>z</math> tali che <math>z^n=1</math>.

Abraham de Moivre era un buon amico di Newton. Nel 1698 scrisse che la formula era nota a Newton perlomeno già nel 1676. La formula di de Moivre può essere derivata dalla formula di Eulero, anche se la precede storicamente, tramite lo sviluppo in serie di Taylor

e dalla legge esponenziale

<math>\left(e^{ix}\right)^{n} = e^{inx}.</math>

Dimostrazione per induzione

Distinguiamo i tre casi relativi a <math>n>0</math>, <math>n=0</math> e <math>n<0</math>.

Per <math>n>0</math> si procede per induzione. Per <math>n=1</math> la formula è una semplice uguaglianza di un'espressione con se stessa. Come ipotesi induttiva assumiamo che sia valida per qualche intero positivo <math>k</math>, cioè assumiamo

Consideriamo poi il caso <math>n=k+1</math>:

<math>= \left[\cos(kx)+i\sin(kx)\right](\cos x+i\sin x)</math> (per l'ipotesi induttiva)

<math>= \cos(kx)\cos x - \sin(kx)\sin x + i\left[\cos(kx)\sin x + \sin(kx)\cos x\right]</math>

<math>= \cos\left[(k+1)x\right] + i\sin\left[(k+1)x\right]</math> (per le formule di addizione di seno e coseno).

L'ultima identità dice che la formula, se vale per <math>n=k</math> allora è valida per <math>n=k+1</math> e per il Principio di induzione matematica si conclude che la formula vale per tutti gli <math>n</math> interi positivi.

Per <math>n=0</math> la formula si riduce alla semplice identità <math>\cos(0x) + i\sin(0x) = 1 + i0 = 1</math>, e <math>z^{0} = 1</math>.

Per <math>n<0</math>, si considera l'intero positivo <math>m=-n</math>. Di conseguenza

<math>=\frac{1}{(\cos x + i\sin x)^{m}} = \frac{1}{(\cos mx + i\sin mx)}</math>, per quanto vale per <math>n>0</math>; razionalizzando il denominatore

<math>=\frac{\cos(mx) - i\sin(mx)}{\cos^2(mx) + \sin^2(mx)} = \cos(mx) - i\sin(mx),</math> e, per le proprietà trigonometriche di seno e coseno,

Dunque la formula è vera per tutti i valori interi di <math>n</math>.

Generalizzazione

La formula di de Moivre viene generalizzata nel modo seguente:

Se <math>z</math> e <math>w</math> sono numeri complessi, allora

<math>\left(\cos z + i\sin z \right)^w</math>

assume più di un valore, mentre

ha un solo valore. Comunque sia, <math> \cos (wz) + i \sin (wz) </math> è uno dei valori di <math>\left( \cos z + i \sin z \right)^w.</math>

Radici di un numero complesso

Se <math>n</math> è un intero positivo, le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso <math>z</math> sono esattamente <math>n</math>, calcolabili tramite l'applicazione inversa della formula di de Moivre, che, se il modulo e l'argomento di <math>z</math> sono rispettivamente <math>r</math> e <math>\theta</math>, assume la seguente forma:<ref>Template:Cita web</ref>

<math>\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right )+i\sin\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)\right),\qquad k=0, 1,\ldots,n-1.</math>

Note

Bibliografia

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Voci correlate

Collegamenti esterni

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