View source for Funzione beta di Eulero

[[File:Beta function contour plot.png|thumb|alt=Grafico delle curve di livello della funzione beta|Grafico delle curve di livello della funzione beta]]
La '''funzione beta di Eulero''', detta anche [[integrale di Eulero]] del primo tipo, è data dall'[[Tavola degli integrali definiti|integrale definito]]:

:<math>\beta(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,</math>

dove sia <math>x</math> che <math>y</math> hanno [[parte reale]] positiva e non nulla (in caso contrario, l'integrale divergerebbe). Questa funzione fu studiata per primo da [[Leonhard Euler|Eulero]] e da [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]], ma fu [[Jacques Binet]] a battezzarla con il suo nome attuale.

==Caratteristiche==
È una [[funzione simmetrica]], cioè il suo valore non cambia scambiando <math>x</math> e <math>y</math>:

:<math>\beta (x,y) = \beta (y,x).</math>

Inoltre valgono anche le due seguenti identità:

:<math>\beta(1,1)=1;</math>
:<math>\beta\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\pi.</math>

La funzione beta si può scrivere in molti modi, di cui i più comuni sono i seguenti:

:<math>\beta(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)};</math>

:<math>\beta(x,y) =  2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,d\theta,  \qquad \Re(x)>0,\, \Re(y)>0;</math>

:<math>\beta(x,y) =  \int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt,  \qquad \Re(x)>0,\, \Re(y)>0;</math>

:<math>\beta(x,y) =  \frac{1}{y}\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\dfrac{(y)_{n+1}}{n!(x+n)};</math>

dove <math>\Gamma(x)</math> è la [[funzione Gamma]] e <math>(x)_n</math> è il [[fattoriale discendente]], cioè <math>x(x - 1)(x - 2)\cdots(x - n + 1)</math>. In particolare, combinando la prima e la seconda forma si dimostra che <math>\Gamma(1/2) = \sqrt \pi</math>.

Così come la funzione gamma descrive i fattoriali dei numeri interi, cioè se l'argomento è un numero intero <math>n</math> il suo risultato è il fattoriale di <math>n-1</math>, la funzione beta (con un piccolo aggiustamento degli indici) descrive i [[Coefficiente binomiale|coefficienti binomiali]]; più precisamente è

:<math>\binom{n}{k} = \frac{1}{(n+1) \operatorname{B}(n-k+1, k+1)}.</math>

La funzione beta è stato il primo modello di [[matrice S]] nella [[teoria delle stringhe]], congetturato per la prima volta da [[Gabriele Veneziano]].

== Relazioni fra la funzione gamma e la funzione beta ==
Per ricavare la forma integrale della funzione beta, si può scrivere il prodotto di due fattoriali come:

:<math> \Gamma(x)\Gamma(y) =  \int_0^{+\infty} e^{-u} u^{x-1}\mathrm{d}u \int_0^{+\infty} e^{-v} v^{y-1}\mathrm{d}v.</math>

Ora poniamo <math>u \equiv a^2</math>, <math>v \equiv b^2</math> in modo che:

:<math>\begin{align}
 \Gamma(x)\Gamma(y) &=
  4\int_0^{+\infty} e^{-a^2} a^{2x-1}\mathrm{d}a \int_0^{+\infty} e^{-b^2} b^{2y-1}\mathrm{d}b \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(a^2+b^2)} |a|^{2x-1} |b|^{2y-1} \, \mathrm{d}a \, \mathrm{d}b.
\end{align}</math>

Trasformiamo in coordinate polari con <math>a = r\cos\theta</math>, <math>b = r\sin\theta</math>:

:<math>\begin{align}
 \Gamma(x)\Gamma(y) &=
  \int_0^{2\pi}\ \int_0^{+\infty} e^{-r^2} |r\cos\theta|^{2x-1} |r\sin\theta|^{2y-1} r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta =\\
&= \int_0^{+\infty}\ e^{-r^2} r^{2x+2y-2} r\, \mathrm{d}r \int_0^{2\pi} |\cos^{2x-1}\theta \sin^{2y-1}\theta| \, \mathrm{d}\theta =\\
&= \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} e^{-r^2} r^{2(x+y-1)} \, \mathrm{d}(r^2)\,\cdot 4\int_0^{\pi/2}\ \cos^{2x-1}\theta \sin^{2y-1} \theta \, \mathrm{d}\theta =\\
&= 2\Gamma(x+y) \int_0^{\pi/2} \cos^{2x-1}\theta \sin^{2y-1} \theta \, \mathrm{d}\theta =\\
&= \Gamma(x+y) \beta(x,y).
\end{align}
</math>

e quindi riscriviamo gli argomenti nella forma solita della funzione beta:

:<math>\beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.</math>

== Derivata ==
La derivata della funzione beta può essere scritta sfruttando, di nuovo, la funzione gamma:

:<math>{\partial \over \partial x} \beta(x, y) = \beta(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \beta(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y)),</math>

dove <math>\psi(x)</math> è la [[funzione digamma]].

== Integrali ==
L'[[integrale di Nörlund-Rice]] è un integrale di [[circuitazione]] che coinvolge la funzione beta.

== Funzione beta incompleta ==
La '''funzione beta incompleta''' è una generalizzazione della funzione beta che sostituisce l'[[integrale definito]] della funzione beta con un [[integrale indefinito]]. È una generalizzazione del tutto analoga a quella della funzione gamma (la [[funzione gamma incompleta]]).

La funzione beta incompleta è definita come:

:<math>\beta(x;a,b) = \int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,\mathrm{d}t.</math>

Per <math>x=1</math>, la funzione beta incompleta ridiventa la normale funzione beta.

La '''funzione beta incompleta regolarizzata''' (o più brevemente '''funzione beta regolarizzata''') è definita in termini di entrambe le due:

:<math>I_x(a,b) = \dfrac{\beta(x;a,b)}{\beta(a,b)}.</math>

Calcolando l'integrale per valori interi di <math>a</math> e <math>b</math>, si ottiene:

:<math>I_x(a,b) = \sum_{j=a}^{a+b-1} {(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!} x^j (1-x)^{a+b-1-j}.</math>

Valgono le seguenti identità:

:<math>I_0(a,b) = 0;</math>
:<math>I_1(a,b) = 1;</math>
:<math>I_x(a,b) = 1 - I_{1-x}(b,a).</math>

== Bibliografia ==
* {{cita libro|autore1=E. T. Whittaker|autore2=G. N. Watson|url=https://www.archive.org/details/courseofmodernan00whituoft|titolo=A course of Modern Analysis|pagine=247|editore=Cambridge University Press|anno=1915|lingua=en}}
* {{cita libro|autore=T. M. MacRobert|url=https://www.archive.org/details/functionsofcompl00macruoft|titolo=Functions of a complex variable|pagina=144|città=Londra|editore=MacMillan|anno=1917|lingua=en}}
* {{cita libro|autore1=M. Abramowitz|autore2=I. Stegun|titolo=[[Handbook of Mathematical Functions]]|città=Washington|editore=Governement Printing Office|anno=1964|lingua=en}} [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_258.htm] (funzione beta) [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_263.htm p. 263] (funzione beta incompleta)

== Voci correlate ==
* [[Eulero]]
* [[Integrale]]
* [[Funzione gamma]]
* [[Tavola degli integrali definiti]]
* [[Teoria delle stringhe]]
* [[Variabile casuale beta]]
* [[Variabile casuale binomiale]]
* [[Distribuzione continua uniforme]]

== Altri progetti ==
{{interprogetto|preposizione=sulla}}

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{funzioni speciali}}
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Funzioni speciali]]