Funzione beta di Eulero

Grafico delle curve di livello della funzione beta

La funzione beta di Eulero, detta anche integrale di Eulero del primo tipo, è data dall'integrale definito:

dove sia <math>x</math> che <math>y</math> hanno parte reale positiva e non nulla (in caso contrario, l'integrale divergerebbe). Questa funzione fu studiata per primo da Eulero e da Legendre, ma fu Jacques Binet a battezzarla con il suo nome attuale.

Caratteristiche

È una funzione simmetrica, cioè il suo valore non cambia scambiando <math>x</math> e <math>y</math>:

Inoltre valgono anche le due seguenti identità:

<math>\beta\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\pi.</math>

La funzione beta si può scrivere in molti modi, di cui i più comuni sono i seguenti:

<math>\beta(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)};</math>

<math>\beta(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,d\theta, \qquad \Re(x)>0,\, \Re(y)>0;</math>

<math>\beta(x,y) = \int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt, \qquad \Re(x)>0,\, \Re(y)>0;</math>

<math>\beta(x,y) = \frac{1}{y}\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\dfrac{(y)_{n+1}}{n!(x+n)};</math>

dove <math>\Gamma(x)</math> è la funzione Gamma e <math>(x)_n</math> è il fattoriale discendente, cioè <math>x(x - 1)(x - 2)\cdots(x - n + 1)</math>. In particolare, combinando la prima e la seconda forma si dimostra che <math>\Gamma(1/2) = \sqrt \pi</math>.

Così come la funzione gamma descrive i fattoriali dei numeri interi, cioè se l'argomento è un numero intero <math>n</math> il suo risultato è il fattoriale di <math>n-1</math>, la funzione beta (con un piccolo aggiustamento degli indici) descrive i coefficienti binomiali; più precisamente è

<math>\binom{n}{k} = \frac{1}{(n+1) \operatorname{B}(n-k+1, k+1)}.</math>

La funzione beta è stato il primo modello di matrice S nella teoria delle stringhe, congetturato per la prima volta da Gabriele Veneziano.

Relazioni fra la funzione gamma e la funzione beta

Per ricavare la forma integrale della funzione beta, si può scrivere il prodotto di due fattoriali come:

<math> \Gamma(x)\Gamma(y) = \int_0^{+\infty} e^{-u} u^{x-1}\mathrm{d}u \int_0^{+\infty} e^{-v} v^{y-1}\mathrm{d}v.</math>

Ora poniamo <math>u \equiv a^2</math>, <math>v \equiv b^2</math> in modo che:

<math>\begin{align}

\Gamma(x)\Gamma(y) &=
 4\int_0^{+\infty} e^{-a^2} a^{2x-1}\mathrm{d}a \int_0^{+\infty} e^{-b^2} b^{2y-1}\mathrm{d}b \\

&= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(a^2+b^2)} |a|^{2x-1} |b|^{2y-1} \, \mathrm{d}a \, \mathrm{d}b. \end{align}</math>

Trasformiamo in coordinate polari con <math>a = r\cos\theta</math>, <math>b = r\sin\theta</math>:

<math>\begin{align}

\Gamma(x)\Gamma(y) &=
 \int_0^{2\pi}\ \int_0^{+\infty} e^{-r^2} |r\cos\theta|^{2x-1} |r\sin\theta|^{2y-1} r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta =\\

&= \int_0^{+\infty}\ e^{-r^2} r^{2x+2y-2} r\, \mathrm{d}r \int_0^{2\pi} |\cos^{2x-1}\theta \sin^{2y-1}\theta| \, \mathrm{d}\theta =\\ &= \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} e^{-r^2} r^{2(x+y-1)} \, \mathrm{d}(r^2)\,\cdot 4\int_0^{\pi/2}\ \cos^{2x-1}\theta \sin^{2y-1} \theta \, \mathrm{d}\theta =\\ &= 2\Gamma(x+y) \int_0^{\pi/2} \cos^{2x-1}\theta \sin^{2y-1} \theta \, \mathrm{d}\theta =\\ &= \Gamma(x+y) \beta(x,y). \end{align} </math>

e quindi riscriviamo gli argomenti nella forma solita della funzione beta:

<math>\beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.</math>

Derivata

La derivata della funzione beta può essere scritta sfruttando, di nuovo, la funzione gamma:

<math>{\partial \over \partial x} \beta(x, y) = \beta(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \beta(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y)),</math>

dove <math>\psi(x)</math> è la funzione digamma.

Integrali

L'integrale di Nörlund-Rice è un integrale di circuitazione che coinvolge la funzione beta.

Funzione beta incompleta

La funzione beta incompleta è una generalizzazione della funzione beta che sostituisce l'integrale definito della funzione beta con un integrale indefinito. È una generalizzazione del tutto analoga a quella della funzione gamma (la funzione gamma incompleta).

La funzione beta incompleta è definita come:

<math>\beta(x;a,b) = \int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,\mathrm{d}t.</math>

Per <math>x=1</math>, la funzione beta incompleta ridiventa la normale funzione beta.

La funzione beta incompleta regolarizzata (o più brevemente funzione beta regolarizzata) è definita in termini di entrambe le due:

<math>I_x(a,b) = \dfrac{\beta(x;a,b)}{\beta(a,b)}.</math>

Calcolando l'integrale per valori interi di <math>a</math> e <math>b</math>, si ottiene:

Valgono le seguenti identità: