Funzione Gamma

Funzione gamma sui numeri reali

In matematica, la funzione Gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa, continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogni numero intero non negativo <math>n</math> si ha:

<math>\Gamma(n+1) = n!</math>,

dove <math>n!</math> denota il fattoriale di <math>n,</math> cioè il prodotto dei numeri interi da <math>1</math> a <math>n</math>: <math>n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n</math>.

Definizione

File:Gamma abs.png

Valore assoluto della funzione gamma sul piano complesso

La notazione <math>\Gamma(z)</math> è dovuta a Legendre. Se la parte reale del numero complesso <math>z</math> è positiva, allora l'integrale

<math>\Gamma(z) = \int_{0}^{+\infty} t^{z-1}\,e^{-t}\,dt</math>

converge assolutamente. Comunque, usando la continuazione analitica, si può estendere la definizione della <math>\Gamma</math> a tutti i numeri complessi <math>z</math>, anche con parte reale non positiva, ad eccezione degli interi minori o uguali a zero. Usando l'integrazione per parti, in effetti, si può dimostrare che:

<math>\Gamma(z+1)=z\Gamma(z),</math>

per cui si ha:

<math>\Gamma(z)=\frac{\Gamma(z+1)}z.</math>

In questo modo, la definizione della <math>\Gamma </math> può essere estesa dal semipiano <math>\mathrm{Re}(z) >0 </math> a quello <math> \mathrm{Re}(z) >-1</math> (ad eccezione del polo in <math>z=0</math>), e successivamente a tutto il piano complesso (con poli in <math>z=0,-1,-2,\dots</math>).

Siccome <math>\Gamma(1)=1</math>, la relazione riportata sopra implica, per tutti i numeri naturali <math>n</math>, che:

<math>\Gamma(n+1)=n!.</math>

In statistica si incontra di frequente (per esempio nella variabile casuale normale) l'integrale:

<math>\int_{-\infty} ^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}</math>

che si ottiene ponendo <math display="inline">\frac{x^2}{2}=t</math>, e quindi <math>x=\sqrt{2t}</math>, ottenendo quindi <math display="inline">dx= \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{t}} dt</math>

<math>\begin{align}\int_{-\infty} ^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx&=2\int_{0} ^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx\\&=2\int_{0} ^{+\infty} \frac{\sqrt{2}}{2} t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt\\&=\sqrt{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\\&=\sqrt{2\pi}\end{align}</math>

Espressioni alternative

Le seguenti espressioni alternative per la funzione Gamma, sono valide su tutto il piano complesso (ad eccezione dei poli):

<math>\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! n^z}{z(z+1)\cdots(z+n)}</math>

dovuta a Gauss,

<math>\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n},</math>

dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni, dovuta a Schlömilch e ottenibile applicando il teorema di fattorizzazione di Weierstrass alla funzione <math>\frac{1}{\Gamma(z)}</math>

<math>\frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-\frac{z}{n}}.</math>

Un'ulteriore espressione alternativa è la seguente:

<math>\Gamma(z) = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{z+n} + \int_1^{+\infty} t^{z-1}e^{-t}dt.</math>

In questa formula sono espliciti i poli di ordine <math>1</math> e residuo <math>\frac{(-1)^n}{n!}</math> che la funzione Gamma ha in <math>z = -n</math>, per ogni <math>n</math> intero non negativo.

La singolarità nell'origine può essere anche dedotta dalla relazione di ricorrenza. Infatti

<math>\lim_{z \to 0} \Gamma(z) = \lim_{z \to 0} \frac{\Gamma(z+1)}{z} = \lim_{z \to 0} \frac{1}{z},</math>

dove è stato fatto uso della relazione <math>\Gamma(1)=1</math>.

Proprietà

Altre importanti proprietà della funzione Gamma sono la formula di riflessione di Eulero:

<math>\Gamma(1-z) \Gamma(z) = {\pi \over \sin (\pi z)}, \qquad z \not\in \mathbb Z,</math>

e quella di duplicazione:

<math>\Gamma(z)\Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \sqrt{\pi}\,\Gamma(2z)</math>

che a sua volta è un caso particolare della formula di moltiplicazione:

<math>\Gamma(z)\Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right)\Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2}m^{1/2 - mz} \Gamma(mz)</math>

la quale per <math>z = 0</math> diventa:

<math>\Gamma\left(\frac{1}{m}\right)\Gamma\left(\frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(\frac{m-1}{m}\right) = \frac{(2 \pi)^{(m-1)/2}}{\sqrt{m}}.</math>

Quest'ultima identità è ottenibile anche dalla formula di riflessione e dall'identità trigonometrica <math>\prod_{k=1}^{m-1} \sin{\frac{k \pi}{m}} = \frac{m}{2^{m-1}}</math>.

Le derivate della funzione Gamma:

<math>\Gamma^{(n)}(z) = \int_0^{+\infty} [\ln{(t)}]^{n}\,t^{z-1}\,e^{-t}\,dt</math>

possono essere espresse in funzione della stessa funzione Gamma e di altre funzioni, per esempio:

<math>\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi_0(z),</math>

dove <math>\psi_0</math> è la funzione poligamma di ordine zero. In particolare,

<math>\Gamma'(1)=-\gamma,</math>

dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni.

Si ha, inoltre:

<math>\frac{d}{d z}\ln{\Gamma{(z)}} = \frac{\Gamma'{(z)}}{\Gamma{(z)}} = \psi_0(z) = - \gamma - \frac{1}{z} - \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n+z} - \frac{1}{n} \right)</math>

che per <math> z = m </math> intero positivo si riduce ad una somma finita

<math>\psi_0(m) = \frac{\Gamma'{(m)}}{\Gamma{(m)}} = - \gamma + 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{m-1} = - \gamma + H_{m-1},</math>

dove <math>H_{m-1}</math> è l'(m-1)-esimo numero armonico.

Derivando membro a membro rispetto a <math>z</math> si ha, ancora,

<math>\frac{d}{d z}\frac{\Gamma'{(z)}}{\Gamma{(z)}} = \psi_1(z) =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+z)^2}</math>

che per <math>z = 0</math> diverge, mentre per <math>z = 1</math> diviene la serie armonica generalizzata di ordine 2

<math>\left[ \frac{d}{d z}\frac{\Gamma'{(z)}}{\Gamma{(z)}} \right]_{z=1} = \psi_1(1) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}.</math>

Lukacs studiò altre proprietà nell'opera A Characterization of the Gamma Distribution negli Annals of Mathematical Statistics del 1955.

Ricordiamo anche che, a partire dalla funzione Gamma, la funzione poligamma di ordine <math>m</math> è definita nel modo seguente:

<math>\psi_m(z) := \left(\frac{d}{dz}\right)^{m+1} \ln{\Gamma(z)} =

\left(\frac{d}{dz}\right)^m \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} = \left(\frac{d}{dz}\right)^m \psi_0(z).</math>

Valori notevoli

Probabilmente, il più noto valore che la funzione Gamma assume su numeri non interi è:

<math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)={\sqrt\pi},</math>

che si può trovare ponendo <math>z=\frac{1}{2}</math> nella formula di riflessione.

Oltre a questo e al già citato valore assunto sui numeri naturali, sono interessanti anche le seguenti proprietà, che interessano i multipli dispari di <math>\frac{1}{2}</math>

<math>\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)= \frac{(n-2)!!}{2^{(n-1)/2}} \sqrt{\pi} = {\frac{n}{2}-1\choose \frac{n-1}{2}} \left(\frac{n-1}{2}\right)! \sqrt{\pi},</math>

<math>\Gamma\left(-\frac{n}{2}\right)= \frac{\sqrt{\pi}}{\Biggl(\begin{matrix} -1/2 \\ \frac{n+1}{2} \end{matrix}\Biggr)\left(\frac{n+1}{2}\right)!},</math>

dove <math>n!!</math> denota il semifattoriale e la parentesi tonda a due livelli il coefficiente binomiale.

Teorema di unicità

Template:Vedi anche Il teorema di Bohr-Mollerup afferma che, tra tutte le funzioni che estendono la funzione fattoriale, solo la funzione Gamma è tale che il suo logaritmo è una funzione convessa.

Bibliografia

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

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Capitolo dedicato alla Gamma Function nella Digital Library of Mathematical Functions

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